kgV-Rechner für das kleinste gemeinsame Vielfache und den ggT
MathematikWählen Sie, für wie viele Zahlen Sie das kgV brauchen, und tragen Sie die Zahlen ein. Der Rechner nennt das kleinste gemeinsame Vielfache, den größten gemeinsamen Teiler und die Primfaktoren jeder Zahl.
Rechenweg
kgV(12, 18) = 12 · 18 / 6 = 36
- Primfaktoren: 12 = 2² · 3 und 18 = 2 · 3².
- Von jeder Primzahl zählt die höchste Potenz: kgV = 2² · 3² = 36.
- Der größte gemeinsame Teiler ist 6. Kontrolle: 12 · 18 / 6 = 216 / 6 = 36.
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Formel
- a, b, c
- die Zahlen, deren kgV gesucht wird
- ggT
- größter gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen
- p1, …, pk
- die Primzahlen, die in mindestens einer der Zahlen als Faktor vorkommen
- m1, …, mk
- der höchste Exponent, mit dem die jeweilige Primzahl in einer der Zahlen auftritt
So funktioniert der Rechner
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) mehrerer ganzer Zahlen ist die kleinste positive Zahl, die durch jede von ihnen ohne Rest teilbar ist. Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, 16, 20, 24 und so weiter, die von 6 sind 6, 12, 18, 24 und so weiter. Gemeinsam sind 12, 24 und alle weiteren Vielfachen von 12, das kleinste davon ist 12. Das Gegenstück ist der größte gemeinsame Teiler (ggT): die größte Zahl, durch die alle Zahlen ohne Rest teilbar sind. Der ggT von 4 und 6 ist 2.
Der Rechner arbeitet mit der Primfaktorzerlegung. Er zerlegt jede Zahl in Primzahlen, nimmt von jeder vorkommenden Primzahl die höchste Potenz und multipliziert diese Potenzen. Für 12 = 2² · 3 und 18 = 2 · 3² ergibt das 2² · 3² = 36. Für den ggT zählen nur die Primzahlen, die in allen Zahlen vorkommen, und zwar mit der niedrigsten Potenz: hier 2 · 3 = 6. Bei zwei Zahlen hängen beide Werte so zusammen: kgV · ggT = a · b, also 36 · 6 = 12 · 18 = 216.
Von Hand geht es auch ohne Zerlegung. Schreiben Sie die Vielfachen der größten Zahl auf, zum Beispiel 18, 36, 54, und prüfen Sie bei jedem, ob die anderen Zahlen es teilen. Das erste Vielfache, bei dem das gelingt, ist das kgV. Ist eine Zahl ein Teiler der anderen, ist das kgV schon die größere Zahl, und haben zwei Zahlen außer 1 keinen gemeinsamen Teiler, ist das kgV ihr Produkt, etwa kgV(3, 5) = 15.
Das kgV braucht man vor allem beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen: Das kgV der Nenner ist der Hauptnenner, den auch der Bruchrechner verwendet. Auch bei Rhythmen hilft es: Fahren zwei Bahnen alle 12 und alle 18 Minuten ab, starten sie nach 36 Minuten wieder gleichzeitig. Wie viele Stunden eine solche Minutenzahl sind, rechnet der Rechner Minuten in Stunden aus. Die Zahlen müssen ganze Zahlen von 1 bis 1.000.000 sein. Ist das kgV größer als 9.007.199.254.740.991, lässt es sich nicht mehr exakt anzeigen, und der Rechner meldet das.
Zur Formel
Ein Vielfaches einer Zahl enthält alle ihre Primfaktoren. Ein gemeinsames Vielfaches muss deshalb von jeder Primzahl mindestens so viele Exemplare enthalten, wie sie in der Zahl mit der höchsten Potenz vorkommen. Das kleinste gemeinsame Vielfache nimmt genau diese höchste Potenz und nichts darüber hinaus.
Die Beziehung kgV(a, b) = a · b / ggT(a, b) folgt daraus: In a · b stecken die gemeinsamen Primfaktoren doppelt; teilt man durch den ggT, bleibt von jeder Primzahl die höhere der beiden Potenzen übrig. Für mehr als zwei Zahlen wendet man das schrittweise an, denn kgV(a, b, c) = kgV(kgV(a, b), c).
Rechenbeispiel
Was ist das kgV von 12, 18 und 30?
- Primfaktoren: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² und 30 = 2 · 3 · 5.
- Höchste Potenz jeder Primzahl: 2² (aus 12), 3² (aus 18) und 5 (aus 30).
- Das kgV ist 2² · 3² · 5 = 180. Der ggT ist 6, weil nur die Primzahlen 2 und 3 in allen drei Zahlen stecken, jeweils einmal.
Das kgV von 12, 18 und 30 ist 180. Der größte gemeinsame Teiler beträgt 6.
Beispiel in den Rechner übernehmenHäufige Fragen
Wie berechne ich kgV und ggT von Hand?
Zerlegen Sie jede Zahl in Primfaktoren. Für das kgV nehmen Sie jede vorkommende Primzahl mit ihrer höchsten Potenz, für den ggT nur die Primzahlen, die in allen Zahlen stecken, mit der niedrigsten Potenz. Bei 20 = 2² · 5 und 30 = 2 · 3 · 5 ist das kgV 2² · 3 · 5 = 60 und der ggT 2 · 5 = 10.
Was ergibt das kgV bei 8 und 12, bei 12 und 9 und bei 3 und 5?
Wie hoch das kgV zweier Zahlen ausfällt, hängt von ihren gemeinsamen Primfaktoren ab. Das kgV von 8 und 12 ist 24, das von 12 und 9 ist 36 und das von 3 und 5 ist 15. Bei 3 und 5 gibt es außer 1 keinen gemeinsamen Teiler, deshalb ist das kgV einfach das Produkt.
Was versteht man unter dem ggT?
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, durch die alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind. Der ggT von 12 und 18 ist 6, weil 6 beide Zahlen teilt und keine größere Zahl das tut. Beim Kürzen eines Bruchs teilt man Zähler und Nenner durch ihren ggT, das erledigt der Bruchrechner.
In welcher Beziehung stehen kgV und ggT?
Bei zwei Zahlen hängen beide eng zusammen: kgV · ggT = a · b. Damit lässt sich das kgV als a · b / ggT berechnen. Für 8 und 12 ist der ggT 4, also das kgV 8 · 12 / 4 = 24. Bei mehr als zwei Zahlen gilt diese einfache Formel nicht mehr; dort rechnet man schrittweise oder über die Primfaktoren.
Wozu braucht man kgV und ggT im Alltag und in der Schule?
In der Schule begegnen sie Ihnen bei Brüchen: Das kgV der Nenner ist der Hauptnenner, der ggT dient zum Kürzen. Wer Brüche addiert, sollte den Hauptnenner sicher finden, deshalb lohnt es sich, das Verfahren zu lernen. Im Alltag helfen sie bei regelmäßigen Abläufen und Mustern: Fliesen im Format 12 × 18 cm ergeben frühestens bei 36 cm Kantenlänge ein Quadrat, dessen Fläche der Flächenrechner angibt.
Gibt es einen Trick, um das kgV schnell zu finden?
Prüfen Sie die Vielfachen der größten Zahl der Reihe nach, bis alle anderen Zahlen teilen. Zwei Abkürzungen sparen oft die Rechnung: Ist eine Zahl ein Teiler der anderen, ist das kgV die größere Zahl (kgV von 6 und 12 ist 12). Haben zwei Zahlen außer 1 keinen gemeinsamen Teiler, multiplizieren Sie sie (kgV von 7 und 9 ist 63).
Wie berechne ich das kgV von mehr als zwei Zahlen?
Mit Primfaktoren ändert sich nichts: Von jeder vorkommenden Primzahl zählt die höchste Potenz in irgendeiner der Zahlen. Für 6, 8 und 10 sind das 2³ (aus 8), 3 (aus 6) und 5 (aus 10), also kgV = 8 · 3 · 5 = 120. Alternativ rechnen Sie schrittweise: kgV(6, 8) = 24, danach kgV(24, 10) = 120. Der Rechner nimmt zwei bis fünf Zahlen.
Woran erkenne ich ohne Taschenrechner, durch welche Zahlen eine Zahl teilbar ist?
Mit Teilbarkeitsregeln lassen sich Teiler schnell bestimmen, was beim Zerlegen in Primfaktoren helfen kann. Durch 2 ist eine Zahl teilbar, wenn sie auf 0, 2, 4, 6 oder 8 endet, durch 5, wenn sie auf 0 oder 5 endet, durch 10, wenn sie auf 0 endet. Durch 3 oder 9 ist sie teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 oder 9 teilbar ist, durch 4, wenn die letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
Ist das kgV dasselbe wie das KGV bei Aktien?
Nein. Das Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV) einer Aktie ist der Aktienkurs geteilt durch den Gewinn je Aktie und hat mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen nichts zu tun, auch wenn die Abkürzung gleich klingt. Dieser Rechner behandelt die Mathematik: das kleinste gemeinsame Vielfache ganzer Zahlen.
Warum nimmt der Rechner keine 0 und keine negativen Zahlen?
Die Zahl 0 ist ein Vielfaches jeder Zahl, deshalb sucht man beim kgV das kleinste positive gemeinsame Vielfache. Kommt 0 unter den Zahlen vor, gibt es kein positives gemeinsames Vielfaches, denn das einzige Vielfache von 0 ist 0 selbst; man legt dann kgV = 0 fest. Dieser Sonderfall ist für die Praxis kaum relevant, daher nimmt der Rechner nur ganze Zahlen ab 1. Bei negativen Zahlen rechnet man mit ihren Beträgen, kgV(−4, 6) ist also so groß wie kgV(4, 6).
- Euklid, Elemente, Buch VII, Satz 34 (die kleinste Zahl, die zwei gegebene Zahlen messen), Ausgabe von D. Joyce (Clark University)
- Kleinstes gemeinsames Vielfaches (Wikipedia)
- Größter gemeinsamer Teiler (Wikipedia)