Potenz-Rechner: eine Zahl mit beliebigem Exponenten potenzieren
MathematikTragen Sie Basis und Exponent ein: Der Rechner zeigt die Potenz, auch bei negativem oder dezimalem Exponenten, und die ersten zehn Potenzen der Basis. Große ganzzahlige Potenzen schreibt er mit allen Ziffern aus.
Rechenweg
2^10 = 1.024
- Die Basis ist 2, der Exponent 10: Berechnet wird die Potenz 2^10.
- Bei einem ganzen positiven Exponenten wird die Basis so oft mit sich selbst multipliziert, wie der Exponent angibt. Beim Exponenten 0 ist das Ergebnis 1. Bei einem negativen Exponenten bildet man den Kehrwert der Potenz mit dem entgegengesetzten, positiven Exponenten.
- Bei einem nicht ganzzahligen Exponenten rechnet man über Wurzeln: Der Exponent 0,5 entspricht der Quadratwurzel.
- Ergebnis: 2^10 = 1.024.
Sobald alle Eingaben gültig sind, sehen Sie hier jeden Rechenschritt.
Formel
- a
- die Basis, die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird
- n
- der Exponent: wie viele gleiche Faktoren multipliziert werden (eine positive ganze Zahl)
- m
- der Zähler des Bruchs m/n, wenn der Exponent ein Bruch ist, und n der Wurzelexponent
So funktioniert der Rechner
Eine Potenz entsteht, wenn man eine Basis mit einem Exponenten (auch Hochzahl genannt) potenziert: a^n liest man „a hoch n“. Ist der Exponent eine natürliche Zahl, ist die Potenz das Produkt aus so vielen gleichen Faktoren, wie der Exponent angibt: 2^10 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1024. Die erste Potenz einer Zahl ist die Zahl selbst, die zweite heißt Quadrat und die dritte, wie beim Volumen eines Würfels, auch Kubikzahl.
Beim Exponenten 0 ist die Potenz 1, sofern die Basis nicht 0 ist. Für 0^0 gibt es keine allgemeine Festlegung: Manche Gebiete setzen es 1, andere lassen es undefiniert, der Rechner lehnt es ab. Ein negativer ganzer Exponent bedeutet, dass man 1 so oft durch die Basis teilt, wie der Betrag des Exponenten angibt: a^(−n) = 1 / a^n, also 2^(−3) = 1/8 = 0,125 (die Basis darf nicht 0 sein). Bei einer positiven Basis und einem Bruch m/n als Exponenten ist a^(m/n) die n-te Wurzel aus a^m. Der Exponent 0,5 ergibt die Quadratwurzel: 9^0,5 = 3.
Im Rechner tragen Sie Basis und Exponent ein, Dezimalstellen mit Komma, und wählen das Ergebnis. „Dezimalwert“ zeigt die Potenz als Zahl. Ein Ergebnis ungleich 0 muss dem Betrag nach zwischen 10^−20 und 9.007.199.254.740.991 (2^53 − 1) liegen und hat 12 gültige Ziffern, wenn es nicht ganzzahlig ist. „Alle Ziffern“ schreibt eine Potenz mit ganzer Basis und ganzem Exponenten ab 0 vollständig aus, bis zu 200 Ziffern und ohne Rundung: 2^64 = 18446744073709551616.
Bei einer negativen Basis und ganzem Exponenten ist das Ergebnis nur dann negativ, wenn der Exponent ungerade ist: (−2)^3 = −8 und (−2)^4 = 16. Bei einer negativen Basis und einem nicht ganzzahligen Exponenten ist die Potenz in den reellen Zahlen nicht eindeutig, deshalb zeigt der Rechner einen Fehler, ebenso bei 0^0 und bei 0 mit negativem Exponenten.
Potenzen stecken in vielen Rechnungen: Das Wachstum eines Guthabens bei Zinseszins ist eine Potenz, siehe den Zinseszinsrechner, und die Quadratwurzel ist die Umkehrung des Quadrierens, siehe den Wurzelrechner. Unter dem Ergebnis stehen die Tabelle der Quadrate und dritten Potenzen von 1 bis 20 und beim „Dezimalwert“ die Potenzen Ihrer Basis.
Zur Formel
Bei ganzer Basis und ganzem Exponenten multipliziert der Rechner die Basis so oft mit sich selbst, wie der Exponent angibt (bei negativem Exponenten bildet er den Kehrwert), und ein ganzzahliges Ergebnis ist exakt, solange es höchstens 9.007.199.254.740.991 (2^53 − 1) beträgt. In den anderen Fällen nutzt er die Potenzfunktion der reellen Zahlen. Nicht ganzzahlige Ergebnisse werden auf 12 gültige Ziffern gerundet.
Bei „Alle Ziffern“ wird die Potenz mit beliebig langen ganzen Zahlen berechnet, ohne Rundung, bis zu 200 Ziffern. Der Rechner weist Fälle ohne Wert zurück: 0^0, 0 mit negativem Exponenten, das eine Division durch 0 verlangte, und eine negative Basis mit nicht ganzzahligem Exponenten. Beim „Dezimalwert“ sind auch Ergebnisse ungleich 0 unter 10^−20 oder über 9.007.199.254.740.991 ausgeschlossen. Das Ergebnis 0 bei Basis 0 und positivem Exponenten ist erlaubt. Die Potenztabelle endet vor dem zehnten Exponenten, wenn der Wert diesen Bereich verlässt.
Rechenbeispiel
Wie viel ist 3 hoch 4?
- Der Exponent 4 sagt, dass die Basis 3 viermal als Faktor vorkommt: 3 · 3 · 3 · 3.
- Schritt für Schritt: 3 · 3 = 9, dann 9 · 3 = 27, dann 27 · 3 = 81.
- 3 hoch 4 ergibt 81. Ebenso ist 2 hoch 5 gleich 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
3 hoch 4 ergibt 81: Die Basis kommt 4 Mal als Faktor vor.
Beispiel in den Rechner übernehmenHäufige Fragen
Was ist Potenz in Mathe?
Eine Potenz ist das Ergebnis des Potenzierens: Sie multiplizieren eine Zahl, die Basis, so oft mit sich selbst, wie der Exponent (die Hochzahl) angibt. 5^3, gesprochen „5 hoch 3“, ist 5 · 5 · 5 = 125. Auch der Ausdruck a^n selbst heißt Potenz. Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen, siehe den Wurzelrechner.
Wie rechne ich Potenzen mit dem Taschenrechner?
Die meisten Taschenrechner haben eine Taste mit x^y, y^x oder ^. Sie tippen die Basis, drücken die Potenztaste, tippen den Exponenten und dann „=“: 2, ^, 5, = ergibt 32. Für Quadrate gibt es oft eine eigene Taste x². In diesem Rechner tragen Sie Basis und Exponent in die beiden Felder ein und lesen das Ergebnis sofort ab.
Wie berechnet man 2 hoch 5?
2 hoch 5 ist 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, denn der Exponent 5 verlangt fünf Faktoren 2. Schrittweise: 2 · 2 = 4, 4 · 2 = 8, 8 · 2 = 16, 16 · 2 = 32. Im Rechner tragen Sie Basis 2 und Exponent 5 ein.
Wie rechnet man 3 hoch 4?
3 hoch 4 ist 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Schrittweise: 3 · 3 = 9, 9 · 3 = 27, 27 · 3 = 81. Das ist zugleich das Quadrat von 9, weil 3^4 = (3^2)^2 = 9^2 = 81. Im Rechner tragen Sie dafür Basis 3 und Exponent 4 ein, dieselbe Rechnung steht im Beispiel.
Was ist eine Potenzfunktion?
Eine Potenzfunktion hat die Form f(x) = a · x^r mit einer festen Hochzahl r, meist einfach f(x) = x^n. Die Variable steht in der Basis, nicht im Exponenten, anders als bei der Exponentialfunktion 2^x. Beispiele sind die Normalparabel f(x) = x² und die kubische Parabel f(x) = x³.
Was sollte man über Symmetrie von Potenzfunktionen wissen?
Bei ganzen Exponenten gilt: Ist der Exponent gerade, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, wie bei x² oder x⁴. Ist er ungerade, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung, wie bei x³ oder x⁵. Für nicht ganzzahlige Exponenten sind die Graphen nicht symmetrisch.
Wieso sind Potenzfunktionen so wichtig?
Viele Zusammenhänge sind Potenzen einer Größe: Der Flächeninhalt eines Kreises wächst mit dem Quadrat des Radius, das Volumen einer Kugel mit seiner dritten Potenz, und die Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur. Deshalb lohnt es sich, Potenzen sicher zu beherrschen.
Was ist ein negativer Exponent?
Ein negativer Exponent liefert den Kehrwert: a^(−n) = 1 / a^n, wobei a nicht 0 sein darf. Deshalb ist 2^(−3) = 1 / 2^3 = 1/8 = 0,125 und 10^(−2) = 1/100 = 0,01. Bei einer positiven Basis bleibt das Ergebnis positiv, bei einer Basis über 1 ist es kleiner als 1.
Was ergibt eine Zahl hoch 0 und hoch 1?
Eine Zahl ungleich 0 hoch 0 ergibt 1: 7^0 = 1, (−3)^0 = 1, 0,5^0 = 1. Hoch 1 bleibt sie unverändert: 7^1 = 7. Für 0^0 gibt es keine allgemeine Festlegung, manche Gebiete setzen es 1, andere lassen es undefiniert, und der Rechner lehnt es ab.
Wie berechnet man eine Potenz mit negativer Basis?
Bei ganzem Exponenten multiplizieren Sie die Basis mit sich selbst. Das Ergebnis ist nur negativ, wenn der Exponent ungerade ist, weil sich zwei Minuszeichen aufheben: (−2)^3 = −8, (−2)^4 = 16. Bei nicht ganzzahligem Exponenten ist die Potenz einer negativen Basis in den reellen Zahlen nicht eindeutig, der Rechner meldet dann einen Fehler.
Wie rechnet man mit Exponenten, die Dezimalzahlen oder Brüche sind?
Bei positiver Basis bedeutet der Bruch m/n im Exponenten: Sie potenzieren mit m und ziehen die n-te Wurzel. 4^(−3/2): 4^(−3) = 1/64, die Quadratwurzel von 1/64 ist 1/8. Der Exponent 0,5 ist die Quadratwurzel: 9^0,5 = 3. Im Rechner schreiben Sie den Bruch als Dezimalzahl, 3/2 als 1,5.
Welche Potenzgesetze gibt es?
Bei gleicher Basis multiplizieren Sie Potenzen, indem Sie die Exponenten addieren, und dividieren, indem Sie sie subtrahieren. Potenzen potenziert man, indem man die Exponenten multipliziert: 2^3 · 2^4 = 2^7 = 128, 2^5 / 2^2 = 2^3 = 8, (2^3)^2 = 2^6 = 64. Bei gleichem Exponenten gilt (2 · 3)^2 = 2^2 · 3^2 = 36.
Wo finde ich eine Tabelle der Potenzen?
Unter dem Rechner steht immer die Tabelle der Quadrate und dritten Potenzen der Zahlen von 1 bis 20, zum Beispiel 12^2 = 144 und 12^3 = 1.728. Beim „Dezimalwert“ gibt es zusätzlich die Tabelle der Potenzen Ihrer Basis mit den Exponenten 1 bis 10, die früher endet, wenn der Wert den Bereich des Rechners verlässt.
Wie berechnet man eine sehr große Potenz wie 2 hoch 64?
Wählen Sie „Alle Ziffern“: Bei ganzer Basis und ganzem Exponenten ab 0 schreibt der Rechner das Ergebnis ohne Rundung aus. 2^64 ergibt 18446744073709551616 (20 Ziffern), 2^100 ergibt 1267650600228229401496703205376 (31 Ziffern). Die Grenze liegt bei 200 Ziffern.
Warum zeigt der Rechner bei sehr großen oder kleinen Zahlen einen Fehler?
Der „Dezimalwert“ akzeptiert Ergebnisse ungleich 0 zwischen 10^−20 und 9.007.199.254.740.991 (2^53 − 1), das Ergebnis 0 ist immer gültig. Darüber stellen Zahlen mit doppelter Genauigkeit nicht mehr jede Ziffer einer ganzen Zahl dar. Für größere ganzzahlige Ergebnisse wählen Sie „Alle Ziffern“, für sehr große oder kleine nicht ganze Werte nutzt man die wissenschaftliche Schreibweise mit Zehnerpotenzen.