Steigung berechnen
MathematikWählen Sie, was Sie haben: Höhe und Strecke, zwei Punkte einer Geraden, eine Steigung in Prozent oder einen Winkel. Der Rechner nennt Steigung und Gefälle in Prozent, Grad und als Verhältnis.
Rechenweg
5 / 50 · 100 = 10 %
- Die waagerechte Strecke beträgt 50 m. Wurde entlang der Neigung gemessen, ergibt sie sich mit dem Satz des Pythagoras.
- Steigung in Prozent: 5 / 50 · 100 = 10 %.
- Neigungswinkel: arctan(0,1) = 5,71°.
- Verhältnis: Auf 1 m Höhe kommen 10 m waagerechte Strecke, also 1 : 10.
Sobald alle Eingaben gültig sind, sehen Sie hier jeden Rechenschritt.
Formel
- m
- Steigung als Dezimalzahl, 0,1 entspricht 10 %
- Δy, Δx
- Höhenunterschied und waagerechte Strecke
- α
- Neigungswinkel zur Waagerechten in Grad
- r
- waagerechte Strecke je 1 m Höhe
- x1, y1, x2, y2
- Koordinaten der beiden Punkte
- b
- Achsenabschnitt: der y-Wert der Geraden bei x = 0
So funktioniert der Rechner
Die Steigung beschreibt, wie viel Höhe ein Weg oder eine Gerade auf einer waagerechten Strecke gewinnt: Höhenunterschied geteilt durch waagerechte Strecke. Mit 100 malgenommen ergibt das die Steigung in Prozent, wie sie auf Verkehrsschildern steht. Ein Gefälle ist dieselbe Rechnung für einen Weg, der abwärts führt, die Zahl ist gleich, nur das Vorzeichen ist negativ. Bei „Höhe und Strecke“ geben Sie daher stets den Betrag des Höhenunterschieds ein.
Den Neigungswinkel erhält man aus dem Arkustangens der Steigung, und umgekehrt ist die Steigung der Tangens des Winkels. Prozent und Grad sind deshalb nicht proportional: 100 % entsprechen 45 Grad, 200 % nur rund 63,4 Grad. Das Verhältnis 1 : x nennt, wie viele Meter waagerechte Strecke auf einen Meter Höhe kommen, so wie bei Rampen und Böschungen.
Haben Sie die Strecke entlang der Neigung gemessen, etwa die Länge einer Rampe, wählen Sie das aus. Der Rechner bestimmt dann die waagerechte Strecke mit dem Satz des Pythagoras. Für Geraden und lineare Funktionen tragen Sie zwei Punkte ein: Die Steigung m ist der Unterschied der y-Werte geteilt durch den Unterschied der x-Werte. Weitere Dreiecksaufgaben löst der Dreieckrechner.
Zur Formel
Alle Größen hängen an der Steigungszahl m. Aus ihr folgen die Prozentangabe, der Winkel und das Verhältnis. Bei steilen Wegen weicht die Strecke entlang der Neigung merklich von der waagerechten Strecke ab: Bei 100 % ist sie rund 41 % länger.
Bei zwei Punkten mit demselben x-Wert verläuft die Gerade senkrecht, dann gibt es keine Steigung und der Rechner meldet das. Eine waagerechte Gerade hat die Steigung 0. Negative Werte stehen für fallende Geraden.
Rechenbeispiel
Wie steil ist eine Zufahrt, die auf 50 m Länge 5 m ansteigt?
- Höhenunterschied durch waagerechte Strecke: 5 / 50 = 0,1.
- Mal 100 ergibt die Steigung in Prozent: 10 %. Auf jeden Meter waagerecht kommen also 10 cm Höhe.
- Der Neigungswinkel ist arctan(0,1) = 5,71°. Das Verhältnis ist 1 : 10.
- Entlang der Neigung ist die Zufahrt wegen des Anstiegs 50,25 m lang.
5 m Höhenunterschied auf 50 m waagerechter Strecke sind 10 % Steigung beziehungsweise Gefälle. Der Neigungswinkel beträgt 5,71°.
Beispiel in den Rechner übernehmenHäufige Fragen
Wie berechne ich die Steigung?
Teilen Sie den Höhenunterschied durch die waagerechte Strecke. Steigt ein Weg auf 50 m um 5 m, ist die Steigung 5 / 50 = 0,1, also 10 %. Bei einer Geraden nehmen Sie zwei Punkte und teilen den Unterschied der y-Werte durch den Unterschied der x-Werte: m = (y2 − y1) / (x2 − x1).
Wie berechne ich die Steigung in Prozent?
Teilen Sie den Höhenunterschied durch die waagerechte Strecke und multiplizieren Sie mit 100. 12 m Höhe auf 100 m waagerechter Strecke sind 12 % Steigung. Haben Sie nur den Winkel, rechnen Sie Prozent = tan(Winkel) · 100: Bei 6 Grad sind das 10,51 %.
Wie viel ist 10 % Steigung?
10 % Steigung bedeuten 10 m Höhe auf 100 m waagerechte Strecke, also 1 m auf 10 m. Der Neigungswinkel ist arctan(0,1) ≈ 5,71 Grad, das Verhältnis 1 : 10. Entlang der Neigung ist der Weg dabei nur etwa 0,5 % länger als die waagerechte Strecke.
Wie rechne ich Prozent in Grad um?
Teilen Sie die Prozentzahl durch 100 und bilden Sie den Arkustangens: 40 % ergeben arctan(0,4) ≈ 21,8 Grad. Prozent und Grad sind nicht proportional: 100 % entsprechen 45 Grad, 200 % nur etwa 63,4 Grad. Nur bei kleinen Winkeln bis etwa 5 Grad entspricht 1 % ungefähr 0,57 Grad.
Wie rechne ich Grad in Prozent um?
Bilden Sie den Tangens des Winkels und multiplizieren Sie mit 100. 6 Grad ergeben tan(6°) · 100 = 10,51 % Steigung, 45 Grad genau 100 %. Wählen Sie oben „Winkel“, dann erledigt der Rechner das und nennt zusätzlich das Verhältnis 1 : x.
Was ist der Unterschied zwischen Steigung und Gefälle?
Rechnerisch gibt es keinen: Das Gefälle ist eine negative Steigung. Ein Weg, der auf 100 m um 8 m abfällt, hat 8 % Gefälle, also die Steigung −8 %, wenn man in Fahrtrichtung rechnet. Bei „Höhe und Strecke“ tragen Sie deshalb den Betrag ein, bei zwei Punkten ergibt sich das Vorzeichen von selbst.
Wie berechne ich den Höhenunterschied aus Gefälle und Länge?
Multiplizieren Sie die waagerechte Strecke mit dem Gefälle in Prozent und teilen Sie durch 100. Eine 4 m lange Terrasse mit 2 % Gefälle fällt um 4 · 2 / 100 = 0,08 m, also 8 cm. Zur Kontrolle tragen Sie bei „Höhe und Strecke“ 0,08 m und 4 m ein, der Rechner zeigt dann 2 %.
Wie berechne ich die Steigung einer Geraden oder linearen Funktion?
Wählen Sie „Zwei Punkte“ und tragen Sie zwei Punkte der Geraden ein. Für (1|2) und (3|7) ist m = (7 − 2) / (3 − 1) = 2,5. Der Rechner nennt außerdem den Achsenabschnitt b, hier −0,5, sodass die Funktion y = 2,5 · x − 0,5 lautet. Die Steigung einer Sekante zwischen zwei Funktionswerten, auch die mittlere Steigung, berechnen Sie genauso. Die Steigung einer Kurve in einem einzelnen Punkt gibt dagegen die Ableitung an, zwei Punkte liefern dafür nur einen Näherungswert.
Was bedeutet ein Verhältnis wie 1 : 12?
Es nennt die waagerechte Strecke je 1 m Höhe. 1 : 12 sind 1 / 12 ≈ 8,33 % Steigung oder etwa 4,76 Grad. Ein Böschungsverhältnis von 1 : 1,5 entspricht 66,7 % und rund 33,7 Grad. Mit „Prozent“ oder „Winkel“ rechnet der Rechner das für Sie um.
Muss ich die Strecke waagerecht oder entlang der Neigung messen?
Die Steigung bezieht sich auf die waagerechte Strecke. Haben Sie die Länge entlang der Neigung gemessen, etwa an einer Rampe, wählen Sie „Entlang der Neigung“. Dann berechnet der Rechner die waagerechte Strecke mit dem Satz des Pythagoras. Die Strecke entlang der Neigung muss länger sein als der Höhenunterschied.
Wie berechne ich die Steigung einer Treppe?
Nehmen Sie die Stufenhöhe als Höhenunterschied und die Auftrittstiefe als waagerechte Strecke. Bei 17 cm Stufenhöhe und 29 cm Auftritt sind das 17 / 29 ≈ 58,6 % oder rund 30,4 Grad. Tragen Sie beide Werte in derselben Einheit ein, der Rechner rechnet nur mit dem Verhältnis. Stufenzahl, Steigungshöhe und Auftritt einer ganzen Treppe aus der Geschosshöhe ermittelt der Treppenrechner.
- Steigung (Wikipedia)
- Arkustangens und Arkuskotangens (Wikipedia)