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Wahrscheinlichkeit berechnen: Formeln und Beispiele

Mathematik

Wählen Sie die Art der Rechnung und tragen Sie Ihre Werte ein. Der Rechner nennt die Wahrscheinlichkeit in Prozent, als gekürzten Bruch und als Zahl zwischen 0 und 1, dazu die Formel und einen durchgerechneten Fall.

Welche Wahrscheinlichkeit möchten Sie berechnen?

Wie viele Ergebnisse das Ereignis erfüllen, zum Beispiel 1 Sechs bei 6 Würfelseiten. Bei Wiederholungen gilt die Zahl für einen einzelnen Versuch.

Wie viele Ergebnisse es insgesamt gibt, alle gleich wahrscheinlich, zum Beispiel die 6 Seiten eines Würfels.

Ihre Eingaben bleiben auf Ihrem Gerät. Gerechnet wird direkt im Browser.

Ergebnis: Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt

16,666667%

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/6 = 16,666667 %, als Zahl zwischen 0 und 1 also 0,166667.

  • Gekürzter Bruch: 1/6
  • Wahrscheinlichkeit als Zahl zwischen 0 und 1: 0,166667
  • Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt (Gegenereignis): 83,333333 %

Rechenweg

1 / 6 = 16,666667 %

  1. Günstige Ergebnisse: 1. Mögliche Ergebnisse: 6.
  2. Wahrscheinlichkeit = günstige / mögliche Ergebnisse = 1 / 6 = 0,166667, als gekürzter Bruch 1/6.
  3. In Prozent: 0,166667 · 100 = 16,666667 %.
  4. Gegenwahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt: 100 % − 16,666667 % = 83,333333 %.

Formel

P(A) = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl der möglichen Ergebnisse
P(nicht A) = 1 − P(A)
P
die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 0 und 1, die mit 100 multipliziert den Prozentwert ergibt
A, B
die Ereignisse: A ∩ B liest man „A und B“, A ∪ B „A oder B“

So funktioniert der Rechner

Die Wahrscheinlichkeit misst, wie sicher ein zufälliges Ereignis eintritt. Sie ist eine Zahl zwischen 0 und 1, mit 0 für ein unmögliches und 1 für ein sicheres Ereignis. Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich (Laplace-Experiment), teilen Sie die Zahl der günstigen durch die Zahl der möglichen Ergebnisse: Bei einem fairen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine 2 gleich 1/6, weil es 6 mögliche und 1 günstiges Ergebnis gibt. Für Prozent multiplizieren Sie mit 100, aus 1/6 werden 16,67 %. Diese Rechnung steckt in „Ein Ereignis“ und liefert auch den gekürzten Bruch und die Gegenwahrscheinlichkeit.

Bei zwei Ereignissen A und B kommt es auf ihren Zusammenhang an. Sie sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für A und B das Produkt P(A) · P(B), etwa eine Sechs beim Würfeln und Zahl beim Münzwurf: 1/6 · 1/2 = 1/12. Für „mindestens eines von beiden“ gilt P(A) + P(B) − P(A und B). Sie sind unvereinbar, wenn sie nie gleichzeitig eintreten können. Dann addieren Sie nur: P(A oder B) = P(A) + P(B). Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten von A und B jeweils in Prozent ein.

Bei Wiederholungen geben Sie die Wahrscheinlichkeit p für einen Versuch an, als günstige durch mögliche Ergebnisse, und die Zahl n der gleichen, voneinander unabhängigen Versuche. Genau k Treffer haben die Wahrscheinlichkeit C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k), die Binomialverteilung. Der Rechner nennt auch „mindestens k“, die kumulierte Wahrscheinlichkeit „höchstens k“, den Erwartungswert n · p und eine Tabelle der ersten Werte von k. Bei 4 Würfen mit einem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs 1 − (5/6)⁴, also 51,77 %.

Der Rechner arbeitet in Prozent mit höchstens sechs Nachkommastellen und weist unmögliche Eingaben zurück: mehr günstige als mögliche Ergebnisse, zwei unvereinbare Ereignisse mit zusammen mehr als 100 % oder mehr Treffer als Versuche. Bei sehr vielen Fällen, etwa beim Lotto 6 aus 49, zählen Sie sie mit Kombinationen (dem Binomialkoeffizienten) und tragen die Gesamtzahl als mögliche Ergebnisse ein. Brüche und Prozente rechnen Sie mit dem Bruchrechner und dem Prozentrechner um.

Zur Formel

Bei „Ein Ereignis“ teilt der Rechner die günstigen durch die möglichen Ergebnisse und multipliziert mit 100. Den Bruch kürzt er mit dem größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, und die Gegenwahrscheinlichkeit ist (mögliche − günstige) / mögliche.

Bei zwei unabhängigen Ereignissen rechnet er P(A ∩ B) = P(A) · P(B), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), die Wahrscheinlichkeit für „keines von beiden“, (1 − P(A)) · (1 − P(B)), und für „genau eines“, P(A ∪ B) − P(A ∩ B). Bei unvereinbaren Ereignissen ist P(A ∩ B) gleich 0, also P(A ∪ B) = P(A) + P(B), und die Summe darf 100 % nicht übersteigen.

Bei Wiederholungen berechnet er P(X = k) mit p = günstige / mögliche Ergebnisse. „Mindestens k“ ist die Summe der Werte von k bis n, „höchstens k“ die Summe von 0 bis k, der Erwartungswert ist n · p. Gerechnet wird in doppelter Genauigkeit, bis zu 1.000 Versuchen.

Rechenbeispiel

Mindestens eine Sechs bei 4 Würfen mit einem Würfel

  1. Bei jedem Wurf ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs 1/6 = 16,666667 %.
  2. Keine Sechs in 4 Würfen hat die Wahrscheinlichkeit (5/6)⁴ = 0,4823.
  3. Mindestens eine Sechs ist das Gegenereignis: 1 − 0,4823 = 0,5177, also 51,774691 %. Der Rechner nennt denselben Wert in der Zeile „mindestens k Treffer“ bei k = 1.

Bei p = 1/6 je Versuch, n = 4 und k = 1: genau k Treffer 38,580247 %, mindestens k Treffer 51,774691 %, höchstens k Treffer 86,805556 %.

Beispiel in den Rechner übernehmen

Häufige Fragen

Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit?

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, gilt P(A) = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl der möglichen Ergebnisse. Bei einem fairen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine 2 gleich 1/6. Das Ergebnis liegt immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher). Für zwei Ereignisse gilt zusätzlich P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) und, wenn sie unabhängig sind, P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit in Prozent?

Teilen Sie die Zahl der günstigen durch die Zahl der möglichen Ergebnisse und multiplizieren Sie mit 100: 1 von 6 ist 1/6 ≈ 0,1667, also 16,67 %. Umgekehrt teilen Sie den Prozentwert durch 100: 25 % sind 0,25, das heißt 1/4. Der Rechner zeigt die Wahrscheinlichkeit in Prozent, als gekürzten Bruch und als Zahl zwischen 0 und 1.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei drei Würfen eine 6 zu würfeln?

Das hängt von der Frage ab. Mindestens eine Sechs in 3 Würfen: 1 − (5/6)³ = 91/216 ≈ 42,13 %. Genau eine Sechs: 3 · (1/6) · (5/6)² = 75/216 ≈ 34,72 %. Dreimal eine Sechs: (1/6)³ = 1/216 ≈ 0,46 %. Wählen Sie im Rechner „Wiederholungen“ mit 1 günstigen von 6 möglichen Ergebnissen, 3 Versuchen und k = 1 beziehungsweise 3.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Sechsen zu würfeln?

Mit zwei Würfeln gleichzeitig ist sie (1/6) · (1/6) = 1/36 ≈ 2,78 %, denn die Würfel sind unabhängig. Mit einem Würfel bei n Würfen nutzen Sie die Binomialverteilung: Bei 12 Würfen sind genau zwei Sechsen etwa 29,6 % wahrscheinlich, mindestens zwei etwa 61,9 %. Im Rechner wählen Sie dafür „Wiederholungen“.

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit von A und B?

Sind A und B unabhängig, multiplizieren Sie: P(A und B) = P(A) · P(B). Bei 20 % und 50 % sind das 10 %. Hängt B vom Eintreten von A ab, gilt P(A und B) = P(A) · P(B | A), im Baumdiagramm das Produkt entlang des Pfades. Im Modus „Unabhängige Ereignisse“ nennt der Rechner außerdem „A oder B“, „keines von beiden“ und „genau eines“.

Wie berechne ich die bedingte Wahrscheinlichkeit?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ist P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), mit P(B) > 0. Beispiel: Wie wahrscheinlich ist eine 6, wenn die Augenzahl gerade ist? P(6 und gerade) = 1/6, P(gerade) = 3/6, also P(6 | gerade) = (1/6) / (3/6) = 1/3. Im Modus „Ein Ereignis“ rechnen Sie das mit 1 günstigen von 3 möglichen Ergebnissen (den geraden Zahlen), Brüche teilen Sie mit dem Bruchrechner.

Wie lautet die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit?

Bilden B₁ bis Bₙ eine Zerlegung aller Möglichkeiten, gilt P(A) = P(A | B₁) · P(B₁) + … + P(A | Bₙ) · P(Bₙ). Beispiel: Maschine 1 liefert 60 % der Teile mit 2 % Ausschuss, Maschine 2 liefert 40 % mit 5 %. Dann ist P(Ausschuss) = 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05 = 0,032, also 3,2 %.

Was ist der Unterschied zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit?

Die relative Häufigkeit ist der Anteil, mit dem ein Ereignis in einer Versuchsreihe tatsächlich eingetreten ist: h = Anzahl der Treffer / Anzahl der Versuche. Bei 100 Würfen mit 20 Sechsen ist h = 0,2, die Wahrscheinlichkeit ist 1/6 ≈ 0,1667. Bei sehr vielen Versuchen nähert sich h der Wahrscheinlichkeit an (Gesetz der großen Zahlen).

Wie drücke ich Chancen als Prozent aus?

Eine Chance „1 zu 5“ meint 1 günstigen gegen 5 ungünstige Fälle, die Wahrscheinlichkeit ist 1 / (1 + 5) = 1/6 ≈ 16,67 %. Bei „1 von 6“ rechnen Sie 1/6 direkt aus. Beim Lotto ist „1 zu 13.983.816“ dagegen umgangssprachlich gemeint: 1 Tipp von 13.983.816 möglichen. Teilen Sie günstige durch alle Fälle und multiplizieren Sie mit 100.

Wie verwende ich den Wahrscheinlichkeitsrechner?

Wählen Sie oben die Art der Rechnung. Bei „Ein Ereignis“ tragen Sie günstige und mögliche Ergebnisse ein, bei den Ereignispaaren die Wahrscheinlichkeiten von A und B in Prozent, bei „Wiederholungen“ die Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch sowie n und k. Das Ergebnis aktualisiert sich beim Tippen, darunter stehen Rechenweg, Formel und Beispiel.

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit beim Lotto 6 aus 49?

Es gibt C(49, 6) = 13.983.816 mögliche Tipps, weil die Reihenfolge der Zahlen keine Rolle spielt. Die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige ist daher 1/13.983.816 ≈ 0,0000072 %. Tragen Sie dafür im Modus „Ein Ereignis“ 1 günstiges und 13.983.816 mögliche Ergebnisse ein. Beim Eurojackpot (5 aus 50 und 2 aus 12) sind es 139.838.160 mögliche Tipps.

Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten bei Karten, etwa beim Skat?

Zählen Sie die günstigen Karten und alle Karten. Im Skatblatt mit 32 Karten ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ass 4/32 = 1/8 = 12,5 %, im Blatt mit 52 Karten für ein Herz 13/52 = 25 %. Ziehen Sie mehrere Karten ohne Zurücklegen, ändern sich die Zahlen von Zug zu Zug, dann sind die Ereignisse nicht unabhängig.

Was ist der Unterschied zwischen unabhängigen und unvereinbaren Ereignissen?

Unabhängig sind Ereignisse, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert, wie bei Würfel und Münze: P(Sechs und Zahl) = 1/6 · 1/2 = 1/12. Unvereinbar sind sie, wenn sie nie zugleich eintreten, etwa „Augenzahl kleiner als 3“ und „größer als 4“: P(eins oder das andere) = 2/6 + 2/6 = 2/3.

Zuletzt aktualisiert: Verantwortlicher Redakteur: Jared Alan
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