Diagonale berechnen
MathematikWählen Sie, was Sie berechnen möchten, und tragen Sie die Maße ein: Der Rechner nennt die Diagonale eines Quadrats oder Rechtecks oder die fehlende Seite aus der Diagonale, dazu Fläche und Umfang. Darunter stehen Tabellen mit häufig gesuchten Werten.
Rechenweg
d = 10 · √2 = 14,1421
- Die Diagonale des Quadrats ist die Seitenlänge mal der Wurzel aus 2, die etwa 1,41421356 beträgt: 10 · √2 = 14,1421.
- Die Fläche ist 10² = 100, der Umfang 4 · 10 = 40.
Sobald alle Eingaben gültig sind, sehen Sie hier jeden Rechenschritt.
Formel
- d
- Diagonale: die Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken
- a, b
- die Seiten des Rechtecks, beim Quadrat ist a = b
- A
- Fläche der Figur
- U
- Umfang der Figur
So funktioniert der Rechner
Die Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken. Quadrat und Rechteck haben zwei davon, und beide sind gleich lang. Jede Diagonale teilt die Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenuse sie ist. Deshalb gilt der Satz des Pythagoras: Im Rechteck mit den Seiten a und b ist d = √(a² + b²). Bei a = 4 und b = 3 ergibt sich d = √(16 + 9) = √25 = 5.
Das Quadrat ist ein Rechteck mit gleichen Seiten. Mit a = b wird aus der Formel d = √(2 · a²) = a · √2, also rund das 1,4142-Fache der Seitenlänge. Ein Quadrat mit 10 cm Seitenlänge hat demnach eine Diagonale von 14,1421 cm. Umgekehrt teilen Sie die Diagonale durch √2, um die Seite zu erhalten: Aus d = 10 wird a = 7,0711. Beim Rechteck folgt aus der Diagonale und einer Seite die andere Seite mit b = √(d² − a²).
Wählen Sie oben, was Sie berechnen möchten, und tragen Sie die Maße in einer beliebigen, aber einheitlichen Einheit ein: Das Ergebnis hat dieselbe Einheit, etwa Zentimeter oder Zoll. Der Rechner zeigt zusätzlich Fläche und Umfang. In den Tabellen darunter stehen häufig gesuchte Werte, etwa die Diagonale eines Quadrats mit 60 cm Seitenlänge oder eines DIN-A4-Blatts. Weitere Formeln finden Sie im Satz-des-Pythagoras-Rechner, im Flächenrechner, im Quadratwurzel-Rechner und im Dreiecksrechner.
Zur Formel
Die Diagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten zwei Seiten der Figur sind. Darum lässt sich die Fläche eines Quadrats auch als d² / 2 schreiben: Nach Pythagoras ist d² = a² + a² = 2 · a². Im Rechteck sind die beiden Diagonalen gleich lang und halbieren sich gegenseitig, im Quadrat stehen sie außerdem senkrecht aufeinander.
Die Zahl √2 ist irrational: Sie hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode. Ist die Seite eines Quadrats eine ganze Zahl, ist die Diagonale deshalb nie ganzzahlig. Beim Rechteck mit ganzzahligen Seiten ist sie es nur für bestimmte Paare, die pythagoreischen Tripel wie 3, 4 und 5. Der Rechner rechnet mit voller Genauigkeit und rundet erst die Anzeige auf vier Nachkommastellen.
Rechenbeispiel
Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit 60 cm Seitenlänge?
- Die Diagonale ist die Seitenlänge mal √2: 60 · 1,41421356 = 84,8528.
- Mit Pythagoras: 60² + 60² = 7.200, und die Wurzel daraus ist 84,8528.
- Die Fläche beträgt 3.600 und der Umfang 240. Die Diagonale ist also 84,8528 cm lang.
Ein Quadrat mit der Seitenlänge 60 hat die Diagonale 84,8528. Die Fläche beträgt 3.600, der Umfang 240.
Beispiel in den Rechner übernehmenHäufige Fragen
Wie lautet die Formel für die Diagonale?
Das hängt von der Figur ab. Beim Rechteck mit den Seiten a und b gilt d = √(a² + b²), beim Quadrat mit der Seite a vereinfacht sich das zu d = a · √2, also etwa 1,4142 · a. Beide Formeln folgen aus dem Satz des Pythagoras, denn die Diagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks aus zwei Seiten.
Wie lang ist die Diagonale in einem Rechteck?
Ziehen Sie die Wurzel aus der Summe der beiden Seitenquadrate: d = √(a² + b²). Bei 4 und 3 sind das 5, bei einem DIN-A4-Blatt mit 21 cm mal 29,7 cm sind es √(441 + 882,09) = 36,37 cm. Wählen Sie im Rechner „Diagonale Rechteck“ und tragen Sie beide Seiten ein.
Wie lang ist eine Diagonale im Quadrat?
Die Diagonale ist die Seitenlänge mal √2 ≈ 1,4142. Ein Quadrat mit 10 cm Seitenlänge hat eine 14,14 cm lange Diagonale, bei 20 cm sind es 28,28 cm. Verdoppeln Sie die Seite, verdoppelt sich auch die Diagonale.
Wie groß ist die Diagonale eines Quadrats mit 60x60 cm?
Sie beträgt 60 · √2 = 84,85 cm. Eine Platte oder Fliese von 60 × 60 cm ist in der Diagonale also knapp 85 cm lang. Die Fläche beträgt 3.600 cm², das sind 0,36 m², der Umfang 240 cm.
Wie findet man die Diagonale eines Rechtecks?
Rechnerisch aus den beiden Seiten mit d = √(a² + b²). Beim Abstecken einer Terrasse oder eines Fundaments messen Sie beide Diagonalen von Ecke zu Ecke: Sind sie gleich lang und entsprechen dem berechneten Wert, sind die Ecken rechtwinklig. Dafür genügt ein Maßband.
Wie berechnet man die Diagonale eines Vierecks?
Bei Rechteck und Quadrat mit dem Satz des Pythagoras, wie oben. Bei einem allgemeinen Viereck reichen zwei Seiten nicht aus: Sie brauchen den Winkel γ dazwischen und rechnen mit dem Kosinussatz d² = a² + b² − 2 · a · b · cos(γ). Alternativ teilen Sie das Viereck in Dreiecke, die der Dreiecksrechner löst.
Kann ich die Diagonale nur mit Fläche und einer Seite berechnen?
Ja, beim Rechteck: Teilen Sie die Fläche durch die bekannte Seite, das ergibt die andere Seite, und setzen Sie beide in d = √(a² + b²) ein. Bei 24 m² und einer Seite von 4 m ist die andere Seite 6 m, die Diagonale √(16 + 36) = 7,21 m. Beim Quadrat genügt die Fläche: d = √(2 · A).
Wie groß ist der Umkreisradius eines Rechtecks?
Der Umkreis läuft durch alle vier Ecken, sein Durchmesser ist die Diagonale. Der Umkreisradius beträgt also r = d / 2. Bei den Seiten 4 und 3 ist d = 5 und r = 2,5. Beim Quadrat ist r = a · √2 / 2, rund 0,7071 · a.
Halbiert die Diagonale die Winkel?
Beim Rechteck nur im Quadrat: Dort teilt jede Diagonale die rechten Winkel in zweimal 45 Grad. Im Rechteck mit ungleichen Seiten ist das nicht so. Seine Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich gegenseitig, stehen aber nicht senkrecht aufeinander und teilen die Winkel nicht in gleiche Hälften. In einer Raute dagegen halbieren beide Diagonalen die Winkel; dieser Rechner behandelt aber nur Rechteck und Quadrat.
Wie berechne ich die Raumdiagonale eines Quaders?
Mit d = √(a² + b² + c²). Im Rechner geht das in zwei Schritten: Berechnen Sie zuerst die Diagonale der Grundfläche mit „Diagonale Rechteck“ und setzen Sie diese zusammen mit der Höhe c erneut als Rechteck ein. Für einen Quader mit 3, 4 und 12 sind das erst 5 und dann √(25 + 144) = 13.
Wie berechne ich die Bildschirmdiagonale in Zoll?
Messen Sie Breite und Höhe des Bildes in Zentimetern, berechnen Sie die Diagonale und teilen Sie sie durch 2,54, denn ein Zoll sind genau 2,54 cm. Ein Monitor mit 52,7 cm Breite und 29,6 cm Höhe hat d = √(52,7² + 29,6²) = 60,44 cm, das sind 23,8 Zoll. Umrechnen können Sie mit dem Zoll-Rechner.
Wie berechne ich die Seite eines Quadrats aus der Diagonale?
Teilen Sie die Diagonale durch √2, also multiplizieren Sie sie mit 0,7071: a = d / √2. Aus d = 10 wird a = 7,0711, aus d = 50 wird a = 35,3553. Wählen Sie im Rechner „Seite Quadrat“ und tragen Sie die Diagonale ein.
Wie berechne ich die zweite Seite eines Rechtecks aus Diagonale und einer Seite?
Ziehen Sie vom Quadrat der Diagonale das Quadrat der bekannten Seite ab und nehmen Sie die Wurzel: b = √(d² − a²). Mit d = 10 und a = 6 ist b = √(100 − 36) = 8. Die Diagonale muss länger sein als die bekannte Seite, sonst gibt es kein Rechteck.
Wann ist die Diagonale eines Rechtecks eine ganze Zahl?
Bei ganzzahligen Seiten, wenn beide Seiten und die Diagonale ein pythagoreisches Tripel bilden: 3 und 4 ergeben 5, 6 und 8 ergeben 10, 5 und 12 ergeben 13, 8 und 15 ergeben 17. Beim Quadrat mit ganzzahliger Seite passiert das nie, weil √2 irrational ist.
Wie nutzt man einen Diagonalenrechner?
Wählen Sie oben, was Sie berechnen möchten, und tragen Sie die bekannten Maße in einer einheitlichen Einheit ein. Das Ergebnis erscheint sofort mit Fläche und Umfang, darunter der Rechenweg. Mit „Beispiel in den Rechner übernehmen“ füllen Sie die Felder mit einem fertigen Beispiel, um den Rechner zu benutzen.
- Diagonale (Geometrie) (Wikipedia)
- Rechteck (Wikipedia)
- Quadrat (Geometrie) (Wikipedia)
- Satz des Pythagoras (Wikipedia)
- Euklid, Elemente, Buch I, Satz 47 (Satz des Pythagoras), Ausgabe von D. Joyce (Clark University)