Satz des Pythagoras Rechner
MathematikWählen Sie, welche Seite des rechtwinkligen Dreiecks Sie suchen, und tragen Sie die beiden bekannten Seiten ein. Der Rechner nennt die fehlende Seite nach dem Satz des Pythagoras sowie Winkel, Fläche, Umfang und Höhe.
Rechenweg
c = √(3² + 4²) = √25 = 5
- Quadrate der Katheten addieren: 3² + 4² = 25.
- Wurzel ziehen: Die Hypotenuse ist c = √25 = 5.
- Winkel mit dem Arkustangens: α = 36,8699° und β = 53,1301°. Es gilt α + β = 90°.
- Fläche A = a · b / 2 = 6, Umfang 12, Höhe auf der Hypotenuse h = a · b / c = 2,4.
Sobald alle Eingaben gültig sind, sehen Sie hier jeden Rechenschritt.
Formel
- a, b
- Katheten: die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen
- c
- Hypotenuse: die längste Seite, dem rechten Winkel gegenüber
- α, β
- die beiden spitzen Winkel, α liegt der Kathete a gegenüber, β der Kathete b
- A
- Flächeninhalt des Dreiecks
- h
- Höhe auf der Hypotenuse, also der senkrechte Abstand der Ecke mit dem rechten Winkel zur Hypotenuse
- p, q
- Hypotenusenabschnitte: p grenzt an die Kathete a, q an die Kathete b
So funktioniert der Rechner
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von genau 90 Grad. Die beiden Seiten, die diesen rechten Winkel einschließen, heißen Katheten (hier a und b), die gegenüberliegende, längste Seite heißt Hypotenuse (c). Der Satz des Pythagoras sagt: Die Quadrate über den Katheten sind zusammen so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse, also a² + b² = c². Er gilt nur im rechtwinkligen Dreieck, aber in beiden Richtungen: Erfüllen drei Seitenlängen diese Gleichung, hat das Dreieck einen rechten Winkel.
Sie wählen die gesuchte Seite und geben die beiden anderen ein. Für die Hypotenuse zieht der Rechner die Wurzel aus a² + b². Für eine Kathete zieht er die Wurzel aus der Differenz, zum Beispiel a = √(c² − b²). Aus den drei Seiten folgen dann die Winkel mit dem Arkustangens (tan α = a / b), der Flächeninhalt a · b / 2, der Umfang und die Höhe auf der Hypotenuse a · b / c. Die Einheit bestimmen Sie selbst: Alle Seiten müssen nur dieselbe haben, die Fläche steht dann in der entsprechenden Quadrateinheit.
Zur Satzgruppe des Pythagoras gehören drei Sätze: der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz, von denen die beiden letzten nach Euklid benannt sind. Die Höhe h auf der Hypotenuse teilt diese in die Abschnitte p und q. Nach dem Kathetensatz gilt a² = p · c und b² = q · c, nach dem Höhensatz h² = p · q. Der Rechner zeigt die Abschnitte und die Höhe mit an, sodass Sie beide Sätze an Ihrem Dreieck nachrechnen können.
Für Dreiecke ohne rechten Winkel gilt der Satz nicht in dieser Form. Dafür gibt es den Rechner Dreieck berechnen mit Kosinus- und Sinussatz. Wie steil eine Rampe ist, deren Höhe und Länge Sie kennen, zeigt der Steigungsrechner, und die Fläche weiterer Formen berechnet der Flächenrechner.
Zur Formel
Das Wurzelziehen kehrt das Quadrieren um. Weil c² = a² + b² größer ist als a² und als b², ist die Hypotenuse immer länger als jede Kathete. Deshalb meldet der Rechner einen Fehler, wenn Sie als Hypotenuse einen Wert eingeben, der nicht größer ist als die bekannte Kathete: Ein solches Dreieck gibt es nicht.
Die Winkel liefert der Tangens: Die Gegenkathete geteilt durch die Ankathete ergibt tan α, der Arkustangens macht daraus den Winkel in Grad. Weil die Winkelsumme im Dreieck 180 Grad beträgt und einer davon 90 Grad ist, ergänzen sich α und β zu 90 Grad. Gerechnet wird mit voller Genauigkeit, die Anzeige rundet auf vier Nachkommastellen.
Rechenbeispiel
Wie lang ist die Hypotenuse bei den Katheten 3 und 4?
- Quadrate addieren: 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
- Wurzel ziehen: c = √25 = 5. Die Seiten 3, 4 und 5 bilden das bekannteste pythagoreische Tripel.
- Winkel: α = 36,8699° und β = 53,1301°. Der Flächeninhalt beträgt 6, die Höhe auf der Hypotenuse 2,4.
Bei den Katheten 3 und 4 ist die Hypotenuse 5 lang. Die Winkel betragen 36,8699° und 53,1301°. Der Flächeninhalt beträgt 6.
Beispiel in den Rechner übernehmenHäufige Fragen
Wie wende ich den Satz des Pythagoras an?
Sind zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt, setzen Sie sie in a² + b² = c² ein und lösen nach der gesuchten Seite auf. Gesucht ist die Hypotenuse: c = √(a² + b²). Gesucht ist eine Kathete: a = √(c² − b²). Mit a = 6 und b = 8 ist c = √(36 + 64) = 10, mit c = 13 und b = 12 ist a = √(169 − 144) = 5.
Welche drei Sätze gehören zur Satzgruppe des Pythagoras?
Das sind der Satz des Pythagoras (a² + b² = c²), der Kathetensatz des Euklid (a² = p · c und b² = q · c) und der Höhensatz des Euklid (h² = p · q). Dabei sind p und q die Abschnitte, in die die Höhe h die Hypotenuse teilt. Der Rechner zeigt p, q und h an, damit Sie alle drei Sätze nachprüfen können.
In welchen Formen schreibt man den Satz des Pythagoras?
Es gibt eine Grundform und zwei Umstellungen. Grundform: a² + b² = c². Hypotenuse gesucht: c = √(a² + b²). Kathete gesucht: a = √(c² − b²) oder b = √(c² − a²). Alle Formeln beschreiben dieselbe Beziehung, nur anders aufgelöst. Sie gelten ausschließlich im rechtwinkligen Dreieck, wobei c die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist.
Wie finde ich eine fehlende Seitenlänge heraus, wenn das Dreieck keinen rechten Winkel hat?
Im rechtwinkligen Dreieck genügt der Satz des Pythagoras mit zwei bekannten Seiten. Ohne rechten Winkel brauchen Sie mehr Angaben: Kennen Sie zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel, liefert der Kosinussatz die dritte Seite, kennen Sie eine Seite und zwei Winkel, hilft der Sinussatz. Beide Fälle löst der Rechner Dreieck berechnen.
Wie berechne ich ein rechtwinkliges Dreieck aus einer Seite und einem Winkel?
Der Satz des Pythagoras allein reicht dafür nicht, denn er verknüpft nur die Seiten. Mit dem Sinus kommen Sie weiter: Bei der Hypotenuse c = 10 und dem Winkel α = 30° ist die Gegenkathete a = c · sin α = 10 · 0,5 = 5. Mit c = 10 und a = 5 berechnet dieser Rechner dann die zweite Kathete b = √75 ≈ 8,66 sowie Fläche, Höhe und Winkel. Alternativ lösen Sie das Dreieck im Rechner Dreieck berechnen im Modus WSW mit c = 10, α = 30° und β = 60°.
Was kennzeichnet ein rechtwinkliges Dreieck?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von genau 90 Grad. Die beiden Seiten daran heißen Katheten, die dritte, längste Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Winkel sind spitz und ergeben zusammen 90 Grad. Auch ein Quadrat, das Sie an der Diagonale teilen, liefert zwei rechtwinklige Dreiecke.
Welche Rechenregeln gelten im rechtwinkligen Dreieck außer dem Satz des Pythagoras?
Die Winkelsumme beträgt 180 Grad, deshalb ergänzen sich die beiden spitzen Winkel zu 90 Grad. Mit Sinus, Kosinus und Tangens verbinden Sie Winkel und Seiten, etwa tan α = Gegenkathete / Ankathete. Der Flächeninhalt ist das halbe Produkt der Katheten (a · b / 2), und Kathetensatz und Höhensatz beschreiben die Abschnitte der Hypotenuse.
Wie lässt sich der Satz des Pythagoras beweisen?
Ein klassischer Beweis vergleicht Flächen: Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten a und b werden so in ein Quadrat mit der Seite a + b gelegt, dass in der Mitte ein Quadrat mit der Seite c frei bleibt. Die Gesamtfläche (a + b)² ist dann 4 · a · b / 2 + c². Ausmultipliziert ergibt das a² + 2ab + b² = 2ab + c², also a² + b² = c².
Was sind pythagoreische Tripel?
Ein pythagoreisches Tripel besteht aus drei natürlichen Zahlen a, b und c mit a² + b² = c². Die kleinsten primitiven (teilerfremden) Tripel sind (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) und (20, 21, 29). Auch Vielfache wie (6, 8, 10) sind Tripel. Mit einer Schnur im Verhältnis 3 : 4 : 5 lässt sich im Garten oder auf der Baustelle ein rechter Winkel abstecken.
In welcher Einheit rechnet der Rechner, und wie genau ist er?
Der Rechner kennt keine feste Einheit: Sie dürfen Zentimeter, Meter oder Zoll verwenden, müssen aber für alle Seiten dieselbe wählen. Die Fläche erscheint in der zugehörigen Quadrateinheit. Gerechnet wird mit voller Genauigkeit, angezeigt werden vier Nachkommastellen.
- Euklid, Elemente, Buch I, Satz 47 (Satz des Pythagoras), Ausgabe von D. Joyce (Clark University)
- Euklid, Elemente, Buch VI, Satz 8 und Folgerung (Höhe als mittlere Proportionale der Hypotenusenabschnitte) (Clark University)
- Satz des Pythagoras (Wikipedia)
- Satzgruppe des Pythagoras (Wikipedia)