Goldener Schnitt Rechner: Strecken und Rechtecke teilen
MathematikWählen Sie, welches Maß Sie kennen: die ganze Strecke, den längeren oder den kürzeren Abschnitt. Der Rechner nennt die beiden anderen Maße im Verhältnis des goldenen Schnitts, 1 zu 1,618.
Rechenweg
100 / Φ = 61,8034
- Der längere Abschnitt ist die ganze Strecke geteilt durch Φ (Φ ≈ 1,618034): 100 / Φ = 61,8034.
- Der kürzere Abschnitt ist der Rest der Strecke: G − a = 38,1966.
Sobald alle Eingaben gültig sind, sehen Sie hier jeden Rechenschritt.
Formel
- Φ
- Phi, die Zahl des goldenen Schnitts: (1 + √5) / 2 = 1,6180339887...
- G
- ganze Strecke, die Summe der beiden Abschnitte a + b
- a
- längerer Abschnitt
- b
- kürzerer Abschnitt
So funktioniert der Rechner
Eine Strecke ist im goldenen Schnitt geteilt, wenn sich die ganze Strecke zum längeren Abschnitt so verhält wie der längere zum kürzeren. Euklid beschreibt das in seinen „Elementen“ als Teilung im äußeren und mittleren Verhältnis (Buch VI, Definition 3) und zeigt in Satz VI.30, wie man sie konstruiert. Bezeichnet a den längeren und b den kürzeren Abschnitt, gilt (a + b) : a = a : b. Dieses Verhältnis heißt Φ (Phi) und beträgt (1 + √5) / 2 = 1,6180339887...: Der längere Abschnitt ist 1,618-mal so lang wie der kürzere.
Daraus folgen die Rechenwege des Rechners. Kennen Sie die ganze Strecke G, ist der längere Abschnitt a = G / Φ (61,8 % von G) und der kürzere b = G − a (38,2 % von G). Kennen Sie den längeren Abschnitt a, ist b = a / Φ und G = a · Φ. Kennen Sie den kürzeren Abschnitt b, ist a = b · Φ und G = b · Φ², also etwa b · 2,618. Für eine Wand von 300 cm liegt die Teilung bei 185,41 cm und 114,59 cm. Dasselbe gilt für ein goldenes Rechteck, dessen längere Seite 1,618-mal so lang ist wie die kürzere.
In Gestaltung, Architektur und Fotografie dient der goldene Schnitt als Orientierung für Proportionen; ob eine Aufteilung schöner wirkt, ist Geschmackssache und kein Rechenergebnis. Die verbreitete Drittelregel teilt dagegen bei 33,3 % und 66,7 %. Gängige Formate sind meist keine goldenen Rechtecke: 16:9 ergibt 1,778, 16:10 ergibt 1,6, das goldene Verhältnis ist 1,618. Anteile von Strecken in Prozent rechnet der Prozentrechner, Flächen von Rechtecken der Quadratmeterrechner.
Zur Formel
Aus (a + b) / a = a / b folgt Φ² = Φ + 1 und daraus Φ = (1 + √5) / 2. Das ist eine irrationale Zahl: Sie lässt sich nie als Bruch ganzer Zahlen schreiben. Der Rechner rechnet mit dem vollen Wert und rundet nur die Anzeige auf vier Nachkommastellen. Der längere Abschnitt ist 1 / Φ = 0,618034 der ganzen Strecke, der kürzere 1 / Φ² = 0,381966.
Die Zahl Φ hängt eng mit der Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 zusammen: Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder nähert sich Φ an, 21 / 13 = 1,615 und 34 / 21 = 1,619. Für den Alltag genügt deshalb oft das Verhältnis 5 : 8, also 1,6, statt 1 : 1,618.
Rechenbeispiel
Wie teilen Sie eine Wand von 300 cm im goldenen Schnitt?
- Der längere Abschnitt ist die ganze Strecke geteilt durch Φ (Φ ≈ 1,618034): 300 / Φ = 185,4102 cm.
- Der kürzere Abschnitt ist der Rest: G − a = 114,5898 cm.
- Die Teilung liegt also bei 185,41 cm von der einen und 114,59 cm von der anderen Seite; das Verhältnis der beiden Abschnitte ist 1,618.
Der goldene Schnitt teilt eine Strecke von 300 in einen längeren Abschnitt von 185,4102 und einen kürzeren von 114,5898 (gleiche Einheit).
Beispiel in den Rechner übernehmenHäufige Fragen
Wie berechne ich den goldenen Schnitt einer Strecke?
Teilen Sie die ganze Strecke durch 1,618: Das ergibt den längeren Abschnitt, der Rest ist der kürzere. Aus 50 cm werden so 30,9 cm und 19,1 cm. Kennen Sie nur den längeren Abschnitt, teilen Sie ihn durch 1,618 für den kürzeren; kennen Sie den kürzeren, multiplizieren Sie ihn mit 1,618.
Wie viel Prozent ist der goldene Schnitt?
Der längere Abschnitt macht 61,8 % der ganzen Strecke aus, der kürzere 38,2 %. Genauer: 1 / Φ = 0,618034 und 1 / Φ² = 0,381966. Bei einer Strecke von 100 cm liegt die Teilung also bei 61,8 cm und 38,2 cm.
Ist 16:9 goldener Schnitt?
Nein. 16:9 entspricht 1,778, der goldene Schnitt 1,618. Näher am goldenen Schnitt liegt 16:10 mit 1,6; das Verhältnis 13:8 aus der Fibonacci-Folge kommt mit 1,625 noch näher. Auch DIN A4 ist kein goldenes Rechteck: Das Seitenverhältnis ist die Wurzel aus 2, also 1,414.
Wie lautet die Drittelregel und wie unterscheidet sie sich vom goldenen Schnitt?
Die Drittelregel teilt ein Bild oder eine Strecke bei einem und bei zwei Dritteln, also bei 33,3 % und 66,7 %. Der goldene Schnitt teilt bei 38,2 % und 61,8 %. Die Linien liegen damit rund 5 Prozentpunkte auseinander (66,7 % gegenüber 61,8 %). Beide dienen als Orientierung für die Bildaufteilung; die Drittelregel ist einfacher anzuwenden.
Wie benutzt man den goldenen Schnitt?
Man teilt eine Strecke, eine Fläche oder ein Bild so, dass sich der größere zum kleineren Teil verhält wie 1,618 zu 1. Beispiele: Eine Wand von 300 cm teilen Sie bei 185,41 cm, ein Bild von 1.000 Pixeln Breite bei 618 Pixeln. Für ein goldenes Rechteck wählen Sie die kürzere Seite und multiplizieren sie mit 1,618.
Warum einen Goldenen-Schnitt-Rechner verwenden?
Weil die Zahl Φ irrational ist und sich schlecht im Kopf rechnen lässt. Der Rechner liefert aus jedem der drei Maße die beiden anderen auf vier Nachkommastellen und erspart das Umstellen der Formel, etwa für Layouts, Bildausschnitte, Möbel oder Beete.
Wie lautet die Formel des goldenen Schnitts?
(a + b) / a = a / b = Φ mit Φ = (1 + √5) / 2 = 1,6180339887. Dabei ist a der längere und b der kürzere Abschnitt. Umgestellt gilt a = G / Φ, b = G − a und G = a · Φ, wobei G die ganze Strecke ist.
Was ist ein goldenes Rechteck?
Ein Rechteck, dessen längere Seite sich zur kürzeren verhält wie 1,618 zu 1. Bei einer kürzeren Seite von 100 cm ist die längere 161,8 cm lang. Schneiden Sie ein Quadrat mit der kürzeren Seite ab, bleibt wieder ein goldenes Rechteck.
Wie hängen der goldene Schnitt und die Fibonacci-Zahlen zusammen?
Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen nähert sich Φ an: 8 / 5 = 1,6, 13 / 8 = 1,625, 21 / 13 = 1,615 und 34 / 21 = 1,619. Je größer die Zahlen, desto genauer stimmt das Verhältnis mit 1,618 überein.
- Euklids Elemente, Buch VI, Definition 3: Teilung einer Strecke im äußeren und mittleren Verhältnis (D. Joyce, Clark University)
- Euklids Elemente, Buch VI, Satz 30: Eine gegebene Strecke im äußeren und mittleren Verhältnis teilen (D. Joyce, Clark University)
- Goldener Schnitt (Wikipedia)
- Fibonacci-Folge (Wikipedia)