Matrix-Rechner: Determinante, Inverse und Produkt berechnen
MathematikWählen Sie die Rechenart und die Größe, tragen Sie die Einträge Ihrer Matrix ein und lesen Sie das Ergebnis ab: die Determinante nach der Regel von Sarrus, die inverse Matrix oder das Produkt zweier Matrizen. Der Rechenweg erscheint mit Ihren Zahlen.
Rechenweg
7 − 4 = 3
- Diagonalen von links oben nach rechts unten: 0 · 2 · 0 + 1 · 1 · 1 + 2 · 3 · 1 = 7.
- Gegendiagonalen von rechts oben nach links unten: 2 · 2 · 1 + 0 · 1 · 1 + 1 · 3 · 0 = 4.
- Die Determinante ist die Differenz: 7 − 4 = 3.
Sobald alle Eingaben gültig sind, sehen Sie hier jeden Rechenschritt.
Formel
- aij
- Eintrag der Matrix A in Zeile i und Spalte j
- bjk
- Eintrag der Matrix B in Zeile j und Spalte k
- det A
- Determinante der Matrix A
- adj(A)
- Adjunkte von A, die transponierte Matrix der Kofaktoren (Unterdeterminanten mit Schachbrett-Vorzeichen)
- (A · B)ik
- Eintrag des Produkts in Zeile i und Spalte k; bei 2x2 entfällt der dritte Summand
So funktioniert der Rechner
Die Determinante ist eine Zahl, die man einer quadratischen Matrix zuordnet. Bei einer 2x2-Matrix ist sie das Produkt der Hauptdiagonale minus das Produkt der Nebendiagonale, also a₁₁ · a₂₂ − a₁₂ · a₂₁. Bei einer 3x3-Matrix rechnet man mit der Regel von Sarrus: Man addiert die Produkte der drei Diagonalen von links oben nach rechts unten und zieht die Produkte der drei Gegendiagonalen ab. Die Regel von Sarrus gilt nur für 3x3-Matrizen. Größere Determinanten berechnet man mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz oder mit dem Gauß-Verfahren; diese Größen bietet der Rechner nicht an.
Die inverse Matrix A⁻¹ gibt es nur, wenn die Determinante nicht 0 ist; dann gilt A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E mit der Einheitsmatrix E. Bei einer 2x2-Matrix tauschen Sie die Einträge der Hauptdiagonale, wechseln das Vorzeichen der beiden anderen Einträge und teilen alles durch die Determinante. Bei einer 3x3-Matrix teilt der Rechner die Adjunkte, die transponierte Matrix der vorzeichenbehafteten Unterdeterminanten, durch die Determinante. Das Matrizenprodukt A · B bildet jeden Eintrag als Summe der Produkte einer Zeile von A mit einer Spalte von B. Es ist nicht kommutativ: Im Allgemeinen ist A · B nicht gleich B · A.
Tragen Sie die Einträge mit Komma als Dezimalzeichen ein. Der Rechner rechnet in doppelter Genauigkeit und zeigt bis zu sechs Nachkommastellen. Eine Matrix gilt als singulär, wenn der Betrag ihrer Determinante praktisch 0 ist; dann meldet der Rechner, dass es keine Inverse gibt. Wie sich Flächen und Winkel in der Ebene berechnen lassen, zeigen der Dreieck-Rechner und der Flächenrechner, Gleichungen zweiten und dritten Grades löst der Nullstellenrechner.
Zur Formel
Die 2x2-Determinante ist der orientierte Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Spaltenvektoren der Matrix aufspannen; allgemein gibt die Determinante an, wie sich das Volumen bei der linearen Abbildung ändert, die die Matrix beschreibt. Ist sie 0, fällt die Abbildung in eine niedrigere Dimension zusammen, und die Matrix hat keine Inverse. Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante nicht 0 ist.
Als singulär behandelt der Rechner eine Matrix, wenn der Betrag der Determinante höchstens das 10^{−12}-Fache des Produkts der größten Beträge je Zeile erreicht. So entstehen bei Dezimalzahlen aus Rundungsfehlern keine Scheininversen mit riesigen Einträgen: Die Matrix mit den Zeilen (0,3 0,1) und (0,9 0,3) hat mathematisch die Determinante 0, in doppelter Genauigkeit bleibt aber ein Rest von etwa −1,4 · 10^{−17}.
Rechenbeispiel
Wie groß ist die Determinante der 3x3-Matrix mit den Zeilen (0 1 2), (3 2 1) und (1 1 0)?
- Die drei Diagonalen von links oben nach rechts unten ergeben 0 · 2 · 0 + 1 · 1 · 1 + 2 · 3 · 1 = 7.
- Die drei Gegendiagonalen ergeben 2 · 2 · 1 + 0 · 1 · 1 + 1 · 3 · 0 = 4.
- Die Differenz ist die Determinante: 7 − 4 = 3. Sie ist nicht 0, die Matrix ist also invertierbar.
Die Determinante der 3x3-Matrix ist 3.
Beispiel in den Rechner übernehmenHäufige Fragen
Wie berechnet man die Determinante von 3x3?
Mit der Regel von Sarrus: Addieren Sie die Produkte der drei Diagonalen von links oben nach rechts unten (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂) und ziehen Sie die Produkte der drei Gegendiagonalen ab (a₁₃a₂₂a₃₁ + a₁₁a₂₃a₃₂ + a₁₂a₂₁a₃₃). Für die Matrix mit den Zeilen (0 1 2), (3 2 1) und (1 1 0) ergibt das 7 − 4 = 3. Alternativ entwickeln Sie nach einer Zeile oder Spalte mit dem Schachbrettmuster der Vorzeichen.
Wie berechnet man die Determinante einer 2x2-Matrix?
Multiplizieren Sie die Hauptdiagonale und ziehen Sie das Produkt der Nebendiagonale ab: det = a₁₁ · a₂₂ − a₁₂ · a₂₁. Für die Zeilen (1 2) und (3 4) ist das 1 · 4 − 2 · 3 = −2. Die 2x2-Determinante ist der orientierte Flächeninhalt des Parallelogramms, das die Spaltenvektoren aufspannen.
Was ist eine Determinante?
Die Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und sich aus ihren Einträgen berechnen lässt. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der linearen Abbildung ändert, die die Matrix beschreibt. Mit ihr lässt sich prüfen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist: Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix nicht 0 ist.
Welche Rechenregeln gibt es für Determinanten?
Die Determinante der Einheitsmatrix ist 1, und eine transponierte Matrix hat dieselbe Determinante. Für gleich große Matrizen gilt det(A · B) = det A · det B, für eine n×n-Matrix det(c · A) = cⁿ · det A. Vertauscht man zwei Zeilen, wechselt das Vorzeichen; sind zwei Zeilen gleich oder besteht eine aus Nullen, ist die Determinante 0. Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen zu addieren ändert nichts. Bei einer Dreiecksmatrix ist sie das Produkt der Diagonale.
Wann hat eine Matrix keine Inverse?
Wenn ihre Determinante 0 ist. Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die Determinante nicht 0 ist. Die Matrix mit den Zeilen (1 2) und (2 4) hat die Determinante 1 · 4 − 2 · 2 = 0 und deshalb keine Inverse. Der Rechner meldet dann, dass die Matrix singulär ist.
Wie berechnet man die inverse Matrix?
Bei 2x2 gilt A⁻¹ = 1 / (a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁) · (a₂₂ −a₁₂ | −a₂₁ a₁₁): Sie tauschen a₁₁ und a₂₂, wechseln bei a₁₂ und a₂₁ das Vorzeichen und teilen durch die Determinante. Für (1 2; 3 4) ist das 1/(−2) · (4 −2; −3 1) = (−2 1; 1,5 −0,5). Bei 3x3 teilen Sie die Adjunkte durch die Determinante; auch das Gauß-Jordan-Verfahren führt zur Inversen.
Wie multipliziert man Matrizen?
Jeder Eintrag des Produkts A · B ist die Summe der Produkte einer Zeile von A mit einer Spalte von B. Das geht nur, wenn A so viele Spalten wie B Zeilen hat; hier haben beide dieselbe Größe. Die Reihenfolge darf man nicht vertauschen: Im Allgemeinen ist A · B nicht gleich B · A. So ist (1 2; 3 4) · (5 6; 7 8) = (19 22; 43 50), aber (5 6; 7 8) · (1 2; 3 4) = (23 34; 31 46).
Wie berechne ich die Determinante einer 4x4-Matrix?
Die Regel von Sarrus gilt nur für 3x3-Matrizen. Größere Determinanten entwickelt man nach einer Zeile oder Spalte (Laplacescher Entwicklungssatz) oder formt mit dem Gauß-Verfahren in eine Dreiecksmatrix um und multipliziert die Diagonale; jede Zeilenvertauschung ändert dabei das Vorzeichen. Dieser Rechner beschränkt sich auf 2x2- und 3x3-Matrizen.
Welche Matrizen kann der Rechner berechnen?
Quadratische Matrizen der Größe 2x2 und 3x3 mit reellen Zahlen: die Determinante, die Inverse und das Produkt zweier gleich großer Matrizen. Eigenwerte, den Rang, das Transponieren, die Addition und größere Matrizen bietet er nicht.