Nullstelle berechnen (Nullstellenrechner)

Setzen Sie den Funktionsterm gleich null und lösen Sie die Gleichung nach x auf. Aus f(x) = 2x − 6 wird 2x − 6 = 0 und damit x = 3. Bei einer quadratischen Funktion nutzen Sie die pq-Formel, bei einer biquadratischen die Substitution z = x², bei einer kubischen eine geratene Nullstelle mit Polynomdivision oder die Cardanische Formel. Der Rechner übernimmt diese Schritte und zeigt den Rechenweg.

Es gibt mehrere Methoden, Nullstellen zu berechnen: Umformen bei linearen Funktionen, Ausklammern mit dem Satz vom Nullprodukt, pq-Formel, abc-Formel und quadratische Ergänzung bei quadratischen Funktionen, Substitution bei biquadratischen und Polynomdivision nach einer geratenen Nullstelle ab Grad 3. Passt keine Formel, nähert man die Nullstelle numerisch an, zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren.

Setzen Sie f(x) = a · x + b gleich null und lösen Sie nach x auf: x = −b / a. Für f(x) = 3x + 7 ergibt sich x = −7/3, das sind etwa −2,3333. Hat die Gerade die Form m · x + n, ist m = a und n = b. Bei a = 0 ist die Funktion konstant: Für b ungleich null gibt es keine Nullstelle, für b = 0 ist jedes x eine Nullstelle.

Ja. Wählen Sie „Quadratisch“. Steht Ihre Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0, tragen Sie a = 1, b = p und c = q ein; für die allgemeine Form ax² + bx + c = 0, mit der die Mitternachtsformel (abc-Formel) rechnet, geben Sie die drei Koeffizienten ein. Der Rechenweg zeigt p und q, den Wert unter der Wurzel und die Diskriminante D = b² − 4ac, die Tabelle die Nullstellen. Für x² − 5x + 6 = 0, also p = −5 und q = 6, sind das x = 2 und x = 3.

In der Kurvendiskussion setzen Sie f(x) = 0 und lösen nach x auf, zusammen mit Extrem- und Wendepunkten, dem Verhalten für große x und dem Schnittpunkt f(0) mit der y-Achse. Die Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen hat die Funktion außerdem ein festes Vorzeichen, das hilft beim Skizzieren des Graphen.

Bringen Sie die Gleichung auf die Form x² + px + q = 0 und addieren Sie (p/2)² auf beiden Seiten, damit links ein Binom entsteht: (x + p/2)² = (p/2)² − q. Dann ziehen Sie die Wurzel und lösen nach x auf. So berechnet man die Nullstellen von f(x) = x² − 6x + 5: Aus (x − 3)² = 4 folgt x = 3 ± 2, also x = 1 oder x = 5. Das Ergebnis ist dasselbe wie mit der pq-Formel.

Wenn in der Gleichung nur gerade Potenzen von x vorkommen, etwa x⁴ − 5x² + 4 = 0. Ersetzen Sie x² durch z: z² − 5z + 4 = 0 hat die Lösungen z = 1 und z = 4. Aus x² = z folgt x = ±1 und x = ±2, es gibt also vier Nullstellen. So berechnet man die Nullstellen einer biquadratischen Funktion. Wählen Sie dafür oben „Biquadratisch“.

Fehlt in der Funktion das konstante Glied, lässt sich x ausklammern: x³ − 5x² + 6x = x · (x² − 5x + 6). Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist, also gilt x = 0 oder x² − 5x + 6 = 0. Die Lösungen sind 0, 2 und 3. So berechnet man Nullstellen ohne große Formel. Im Rechner ist das die Voreinstellung des kubischen Typs.

Hier finden Sie weitere Beispiele mit bekannten Lösungen: 2x − 6 = 0 hat x = 3. x² − 4x + 4 = 0 hat die doppelte Nullstelle x = 2. x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 hat die Nullstellen 1, 2 und 3. x⁴ − 13x² + 36 = 0 hat x = ±2 und x = ±3. x² + 1 = 0 hat keine reelle Nullstelle. Tragen Sie die Koeffizienten ein und vergleichen Sie.

Eine doppelte Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem der Funktionsterm den Faktor (x − Nullstelle)² enthält. Der Graph berührt die x-Achse dort, ohne sie zu schneiden. Bei einer Parabel ist es der Scheitelpunkt, wenn die Diskriminante null ist, etwa x = −2 bei x² + 4x + 4. Die Tabelle zeigt solche Nullstellen in der Spalte Vielfachheit mit dem Wert 2.

Weil sie die x-Achse nicht erreicht: Eine nach oben geöffnete Parabel, deren Scheitelpunkt über der x-Achse liegt, schneidet sie nie. Rechnerisch ist die Diskriminante D = b² − 4ac dann negativ, unter der Wurzel steht eine negative Zahl. Die Gleichung hat dann nur komplexe Lösungen, aber keine reelle Nullstelle. Ein Beispiel ist x² + 1 = 0.

Ja, mindestens eine reelle. Für sehr kleine x liegt der Graph auf der einen Seite der x-Achse, für sehr große x auf der anderen, dazwischen muss er die Achse also schneiden. Insgesamt hat eine kubische Gleichung drei Lösungen, gezählt mit Vielfachheit; reell sind je nach Diskriminante eine, zwei oder drei verschiedene.

Nein, er löst nur Polynome bis zum Grad 3 und biquadratische Gleichungen. Ein reiner Exponentialterm wie 3 · eˣ wird nie null. Kommt ein weiterer Summand hinzu, kann es Nullstellen geben: Die Gleichung eˣ − 2 = 0 löst man von Hand mit dem Logarithmus, es ergibt sich x = ln 2, also etwa 0,6931. Die Sinusfunktion hat Nullstellen bei allen ganzzahligen Vielfachen von π. Bei gebrochen rationalen Funktionen setzt man den Zähler gleich null und prüft, dass der Nenner dort nicht null ist.

Angezeigt werden vier Nachkommastellen, intern rechnet der Rechner mit der vollen Genauigkeit des Browsers. Bei Dezimalzahlen kann eine Probe wegen der Rundung knapp neben null liegen. Zur Kontrolle setzen Sie die Nullstelle in f(x) ein, das Ergebnis sollte null oder sehr nahe bei null sein.