Bahngeschwindigkeit berechnen
MathematikWählen Sie, was Sie kennen: Umlaufdauer, Drehzahl oder Winkelgeschwindigkeit. Zusammen mit dem Bahnradius berechnet der Rechner die Bahngeschwindigkeit in m/s und km/h sowie die Zentripetalbeschleunigung.
Rechenweg
v = 2π · 6.378.137 m / 86.164,2 s = 465,1005 m/s
- Radius in Meter: r = 6.378.137 m. Umlaufdauer in Sekunden: T = 86.164,2 s.
- Länge der Kreisbahn: 2π · r = 40.075.016,6856 m.
- Bahngeschwindigkeit: v = 40.075.016,6856 m / 86.164,2 s = 465,1005 m/s, das sind 1.674,362 km/h.
Sobald alle Eingaben gültig sind, sehen Sie hier jeden Rechenschritt.
Formel
- v
- Bahngeschwindigkeit in m/s
- r
- Bahnradius in Metern, der Abstand zum Mittelpunkt
- T
- Umlaufdauer in Sekunden, die Zeit für eine volle Umdrehung
- n
- Drehzahl in Umdrehungen pro Minute
- ω
- Winkelgeschwindigkeit in rad/s
- az
- Zentripetalbeschleunigung in m/s², gerichtet zum Mittelpunkt
So funktioniert der Rechner
Die Bahngeschwindigkeit v gibt an, wie schnell sich ein Punkt auf einer Kreisbahn bewegt, also wie viele Meter er auf der Bahn je Sekunde zurücklegt. Sie ist die Länge der Kreisbahn geteilt durch die Zeit für einen Umlauf: v = 2π · r / T. Der Bahnradius r ist der Abstand zum Mittelpunkt, die Umlaufdauer T die Zeit für eine volle Umdrehung. Die SI-Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s); mit 3,6 multipliziert ergibt sich km/h.
Die Winkelgeschwindigkeit ω beschreibt dagegen, wie schnell sich der Drehwinkel ändert: ω = 2π / T in rad/s, bei einer Drehzahl n in Umdrehungen pro Minute ω = 2π · n / 60. Beide Größen hängen über den Radius zusammen, v = ω · r. Alle Punkte eines sich drehenden Körpers haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit, die Bahngeschwindigkeit wächst aber mit dem Abstand zur Achse: Am Rand eines Karussells ist sie doppelt so groß wie auf halbem Radius.
Wählen Sie im Rechner, welche Größe Sie kennen: Umlaufdauer, Drehzahl oder Winkelgeschwindigkeit. Dazu geben Sie den Radius in Meter, Zentimeter oder Kilometer an. Der Rechner nennt die Bahngeschwindigkeit in m/s und km/h, die jeweils anderen Größen der Drehbewegung und die Zentripetalbeschleunigung a = v² / r, die den Körper auf der Kreisbahn hält. Die Formeln gelten für eine gleichförmige Kreisbewegung; Planeten laufen auf Ellipsen, für sie ist das Ergebnis ein Mittelwert. Eine Geschwindigkeit aus Strecke und Zeit berechnet der Geschwindigkeitsrechner, den Umfang einer Kreisbahn der Kreisrechner.
Zur Formel
Der Umfang der Kreisbahn ist 2π · r. Legt der Punkt ihn in der Zeit T zurück, ist v = 2π · r / T. Weil ω = 2π / T der Winkel je Zeit ist (eine Umdrehung entspricht 2π im Bogenmaß), lässt sich dasselbe als v = ω · r schreiben. Der Rechner rechnet Radius und Zeit zuerst in Meter und Sekunden um und bestimmt dann ω.
Aus v = ω · r folgt umgekehrt r = v / ω und ω = v / r. Die Anzeige zeigt bis zu zehn Nachkommastellen und kürzt überflüssige Nullen, damit auch kleine Werte wie die Winkelgeschwindigkeit der Erde (0,0000729212 rad/s) sichtbar bleiben.
Rechenbeispiel
Wie schnell bewegt sich ein Mensch am Äquator mit der Erdrotation?
- Der Äquatorradius der Erde beträgt 6.378,137 km, das sind 6.378.137 m. Eine Erdumdrehung, bezogen auf die Sterne, dauert 23,9345 h, das sind 86.164,2 s.
- Die Kreisbahn am Äquator ist 2π · r = 40.075.016,6856 m lang.
- Die Bahngeschwindigkeit ist v = 40.075.016,6856 m / 86.164,2 s = 465,1005 m/s, also 1.674,362 km/h.
Bei einem Radius von 6.378,137 km und einer Umlaufdauer von 23,9345 h beträgt die Bahngeschwindigkeit 465,1005 m/s, das sind 1.674,362 km/h.
Beispiel in den Rechner übernehmenHäufige Fragen
Was versteht man unter Bahngeschwindigkeit?
Die Bahngeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Punkt entlang einer Kreisbahn bewegt, also die Strecke auf der Bahn je Zeit. Sie wird auch Umfangsgeschwindigkeit genannt und zeigt in Richtung der Tangente. Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ändert sich ihre Richtung ständig, ihr Betrag nicht. Ein Punkt am Rand einer Scheibe ist schneller als einer nahe der Achse.
Wie lautet die Formel für die Geschwindigkeit einer Kreisbewegung?
Die Bahngeschwindigkeit ist der Umfang der Kreisbahn geteilt durch die Umlaufdauer: v = 2π · r / T. Mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 2π / T gilt gleichwertig v = ω · r, mit der Drehzahl n in Umdrehungen pro Minute v = 2π · r · n / 60. Bei r = 0,5 m und T = 2 s ergibt das v = 2π · 0,5 / 2 = 1,57 m/s.
Was ist die Winkelgeschwindigkeit ω?
Die Winkelgeschwindigkeit ω gibt an, wie schnell sich der Drehwinkel ändert, gemessen im Bogenmaß pro Sekunde (rad/s). Eine volle Umdrehung entspricht 2π rad, daher ist ω = 2π / T. Bei einer Umdrehung pro Sekunde ist ω = 6,283 rad/s, bei 3.000 Umdrehungen pro Minute ω = 314,16 rad/s.
Was ist der Unterschied zwischen Bahn- und Winkelgeschwindigkeit?
Die Winkelgeschwindigkeit sagt, wie schnell sich der Winkel ändert, die Bahngeschwindigkeit, wie schnell der Punkt auf seiner Bahn vorankommt. Alle Punkte eines drehenden starren Körpers haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit, ihre Bahngeschwindigkeit wächst aber mit dem Radius: v = ω · r. Am Rand eines Karussells ist v doppelt so groß wie auf halbem Radius, ω ist überall gleich.
Welche Einheit hat die Bahngeschwindigkeit?
Die SI-Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s). Im Alltag ist km/h üblich: Multiplizieren Sie m/s mit 3,6, denn 1 m/s sind 3,6 km/h. Die Winkelgeschwindigkeit hat dagegen die Einheit rad/s, die Drehzahl wird in Umdrehungen pro Minute (U/min) oder pro Sekunde angegeben.
Wie lautet die Formel für den Bahnradius?
Aus v = ω · r folgt r = v / ω, mit der Umlaufdauer r = v · T / (2π). Ein Punkt, der sich mit 20 m/s auf einer Kreisbahn mit ω = 4 rad/s bewegt, hat den Radius 5 m. Der Rechner bestimmt die Geschwindigkeit aus dem Radius; den Radius berechnen Sie mit dieser Formel von Hand.
Wie schnell ist ein Mensch am Äquator?
Am Äquator bewegt sich ein Mensch durch die Erdrotation mit rund 465 m/s, das sind etwa 1.674 km/h. Der Wert folgt aus dem Äquatorradius von 6.378,137 km und einer Erdumdrehung von 23 h 56 min 4 s. In Deutschland, bei etwa 50° nördlicher Breite, sind es rund 299 m/s (1.076 km/h), denn der Radius der Kreisbahn schrumpft mit dem Kosinus der Breite.
Wie schnell bewegt sich die Erde um die Sonne?
Im Mittel mit 29,78 km/s, das sind rund 107.000 km/h. Mit dem Abstand von einer astronomischen Einheit (149.597.870,7 km) und einem Jahr von 365,25 Tagen liefert der Rechner 29,785 km/s. Die Erdbahn ist leicht elliptisch, deshalb schwankt die Bahngeschwindigkeit zwischen 29,29 km/s und 30,29 km/s.
Wie rechne ich die Drehzahl in Bahngeschwindigkeit um?
Rechnen Sie die Drehzahl n zuerst in die Winkelgeschwindigkeit um, ω = 2π · n / 60, und multiplizieren Sie mit dem Radius. Eine Schleifscheibe mit 0,1 m Radius und 3.000 U/min hat ω = 314,16 rad/s und damit v = 31,4 m/s, das sind 113 km/h.
Was ist die Zentripetalbeschleunigung?
Die Zentripetalbeschleunigung a = v² / r = ω² · r zeigt zum Mittelpunkt und hält den Körper auf der Kreisbahn, obwohl sich der Betrag der Bahngeschwindigkeit nicht ändert, nur ihre Richtung. Am Erdäquator beträgt sie nur 0,034 m/s², knapp 0,35 % der Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s².
- Kreisbewegung: Bahngeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung (Wikipedia)
- Winkelgeschwindigkeit (Wikipedia)
- Erdrotation: Winkelgeschwindigkeit 7,292115 · 10⁻⁵ rad/s und Umfangsgeschwindigkeit am Äquator 465,1 m/s (Wikipedia)
- Erde: mittlere Bahngeschwindigkeit 29,78 km/s (Wikipedia)
- SI-Broschüre, 9. Ausgabe: Radiant, Sekunde und Meter pro Sekunde (Internationales Büro für Maß und Gewicht (BIPM))