Wurzelrechner: Quadratwurzel online berechnen
MathematikTragen Sie die Zahl unter der Wurzel ein und wählen Sie die Nachkommastellen. Der Rechner nennt die Quadratwurzel, prüft, ob eine Quadratzahl vorliegt, und zeigt die Wurzel in vereinfachter Form mit Rechenweg.
Rechenweg
√50 ≈ 7,0711
- Die Quadratwurzel von 50 ist die nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert 50 ergibt.
- Der ganzzahlige Teil ist 7: 7² = 49 überschreitet 50 nicht, das Quadrat der nächsten ganzen Zahl, 64, schon.
- Auf 4 Nachkommastellen gerundet lautet das Ergebnis 7,0711.
Sobald alle Eingaben gültig sind, sehen Sie hier jeden Rechenschritt.
Formel
- x
- der Radikand, die Zahl unter der Wurzel, mindestens 0
- y
- die Quadratwurzel, die nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert x ergibt
- s, q
- der Teil, der vor die Wurzel kommt, und der Rest unter der Wurzel, in dem kein Faktor doppelt vorkommt
- yn
- die Näherung im n-ten Schritt des Heron-Verfahrens, die sich mit jedem Schritt der Wurzel nähert
So funktioniert der Rechner
Tragen Sie die Zahl ein, aus der Sie die Wurzel ziehen möchten, den Radikanden, und wählen Sie die Nachkommastellen. Der Rechner bestimmt die Quadratwurzel, also die nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Radikanden ergibt, und prüft, ob der Radikand eine Quadratzahl ist. Er rechnet mit ganzen Zahlen und mit Dezimalzahlen von 0 bis 1.000.000.000.000. Dazu erhalten Sie den ganzzahligen Teil der Wurzel, die Quadratzahlen davor und danach und bei ganzen Zahlen die vereinfachte Wurzel.
Wer eine Wurzel im Kopf oder auf Papier berechnen möchte, kennt am besten die ersten Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 und 400. Für √50 sehen Sie, dass 49 knapp darunter und 64 darüber liegt: Die Wurzel liegt zwischen 7 und 8, dicht bei 7. Genau diese beiden Nachbarn zeigt der Rechner an, denn sie liefern die erste Schätzung jeder Wurzel. Eine Quadratzahl endet nur auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9. Für Zahlen, die auf 25 enden, gibt es eine Abkürzung: Steht vor der 25 ein Produkt n · (n + 1), ist die Zahl das Quadrat von n5. In 2.025 steht vor der 25 die 20 = 4 · 5, also ist die Wurzel 45.
Bei ganzen Zahlen hilft die Primfaktorzerlegung. Faktoren, die doppelt vorkommen, wandern vor die Wurzel: 72 = 2³ · 3² = 2² · 3² · 2 ergibt √72 = 2 · 3 · √2 = 6√2. Sind alle Exponenten gerade, liegt eine Quadratzahl vor und die Wurzel ist ganzzahlig, etwa √144 = √(2⁴ · 3²) = 2² · 3 = 12. Die Wurzel einer natürlichen Zahl ist entweder ganzzahlig oder irrational. Im zweiten Fall ist die angezeigte Zahl ein auf die gewählten Nachkommastellen gerundeter Näherungswert.
Praktisch brauchen Sie die Quadratwurzel, um aus einer Fläche die Seitenlänge eines Quadrats zu erhalten: Ein quadratischer Raum mit 36 m² ist 6 m lang. Die Fläche selbst berechnet der Quadratmeterrechner, den Radius aus der Kreisfläche der Kreisrechner. Wurzeln stecken auch im Satz des Pythagoras und in den Lösungsformeln, die der Rechner für die Nullstelle einer Parabel verwendet.
Zur Formel
Das Wurzelziehen kehrt das Quadrieren um: √144 = 12, weil 12 · 12 = 144. Zwar ergibt auch (−12) · (−12) = 144, aber das Wurzelzeichen steht per Definition für die nichtnegative Lösung. Da das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist, existiert die Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen nur für Zahlen ab 0.
Ist der Radikand eine natürliche Zahl, aber keine Quadratzahl, ist die Wurzel irrational: Ihre Dezimalbruchentwicklung bricht nicht ab und wiederholt sich nicht, wie bei √2 = 1,41421356… Der Rechner rundet auf die gewählten 2 bis 8 Nachkommastellen. Bei ganzen Zahlen nennt er außerdem die vereinfachte Form: Wegen 50 = 25 · 2 ist √50 = 5√2.
Das Heron-Verfahren, auch babylonisches Wurzelziehen genannt, liefert immer bessere Näherungen: Aus einer Schätzung y entsteht die nächste als Mittelwert von y und x / y. Für √50 mit dem Startwert 7 ergibt (7 + 50 / 7) / 2 den Wert 7,0714 und der nächste Schritt 7,07107. Das ist der exakte Wert 7,0710678… auf fünf Nachkommastellen gerundet. Mit jedem Schritt verdoppelt sich etwa die Zahl der richtigen Stellen.
Rechenbeispiel
Wie lautet die Wurzel aus 2.025?
- Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2.025 ergibt. Wegen 45 · 45 = 2.025 ist √2.025 = 45.
- Die Primfaktorzerlegung bestätigt das: 2.025 = 3⁴ · 5². Alle Exponenten sind gerade, also ist 2.025 eine Quadratzahl, und die Wurzel ist 3² · 5 = 45.
- Probe: 45 · 45 = 2.025, genau die Ausgangszahl. Die nächste Quadratzahl ist 46² = 2.116.
Die Quadratwurzel von 2.025 ist 45. Die Zahl 2.025 ist eine Quadratzahl, denn 45 · 45 = 2.025.
Beispiel in den Rechner übernehmenHäufige Fragen
Wie rechnet man die Wurzel aus 144?
144 ist eine Quadratzahl: 12 · 12 = 144, also ist √144 = 12. Zum selben Ergebnis führt die Primfaktorzerlegung 144 = 2⁴ · 3². Halbieren Sie die Exponenten, erhalten Sie 2² · 3 = 12. Tragen Sie 144 oben ein, um den Rechenweg zu sehen.
Was ist die Wurzel von 25, von 16 und von 64?
Die Wurzel von 25 ist 5, denn 5 · 5 = 25. Die Wurzel von 16 ist 4 und die von 64 ist 8, weil 4 · 4 = 16 und 8 · 8 = 64 gilt. Alle drei Zahlen sind Quadratzahlen, ihre Wurzeln deshalb ganze Zahlen. Auch die Wurzel aus 2025 ist ganzzahlig: 45 · 45 = 2.025.
Wie berechnet man eine Wurzel ohne Taschenrechner?
Schließen Sie die Wurzel zwischen zwei Quadratzahlen ein und verfeinern Sie die Schätzung. Für √50 liegt 50 zwischen 7² = 49 und 8² = 64, die Wurzel also knapp über 7. Genauer wird es mit dem Heron-Verfahren oder mit dem schriftlichen Wurzelziehen, das der schriftlichen Division ähnelt. Bei ganzen Zahlen führt auch die Primfaktorzerlegung zum Ziel.
Wie funktioniert das Heron-Verfahren?
Sie starten mit einer Schätzung y und bilden den Mittelwert aus y und x / y, das ist die nächste Schätzung. Für √50 mit y = 7 folgt (7 + 50 / 7) / 2 = 7,0714 und im nächsten Schritt 7,07107. Pro Schritt verdoppelt sich etwa die Zahl der richtigen Stellen. Das Verfahren heißt auch babylonisches Wurzelziehen.
Wie lautet die Formel, um eine Wurzel zu berechnen?
Die Quadratwurzel von x ist die nichtnegative Zahl y mit y · y = x. Als Potenz geschrieben ist das x hoch 1/2. Ist x keine Quadratzahl, berechnet man die Wurzel näherungsweise, etwa mit der Formel des Heron-Verfahrens y_neu = (y + x / y) / 2. Bei Quadratzahlen ist das Ergebnis eine ganze Zahl.
Was bedeutet Wurzel ziehen, und was ist der Radikand?
Wurzel ziehen heißt, das Quadrieren umzukehren: Gesucht ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat dem Radikanden entspricht. Der Radikand ist die Zahl unter dem Wurzelzeichen. Bei √81 ist 81 der Radikand und 9 die Wurzel, denn 9 · 9 = 81.
Welche Rechenregeln gelten für Wurzeln?
Für nichtnegative Zahlen gilt √(a · b) = √a · √b und entsprechend √(a / b) = √a / √b mit b > 0. Für Summen gibt es keine solche Regel: √(9 + 16) = 5, aber √9 + √16 = 7. Außerdem ist √(a²) = |a|, die Wurzel aus (−3)² ist also 3.
Wie vereinfacht man eine Wurzel?
Zerlegen Sie den Radikanden in Primfaktoren und ziehen Sie jedes Paar gleicher Faktoren vor die Wurzel. Aus 72 = 2² · 3² · 2 wird √72 = 2 · 3 · √2 = 6√2, aus 50 = 5² · 2 wird 5√2. Der Rechner nennt diese Teilwurzel bei ganzen Zahlen im Feld Vereinfachte Wurzel.
Warum gibt es keine Wurzel aus einer negativen Zahl?
Das Quadrat einer reellen Zahl ist nie negativ: 3 · 3 und (−3) · (−3) ergeben beide 9. Deshalb ist die Quadratwurzel in den reellen Zahlen nur ab 0 erklärt, und der Rechner weist bei negativen Eingaben darauf hin. Führt man die imaginäre Einheit i mit i · i = −1 ein, ist √(−4) = 2i.
Wie erkenne ich, ob eine Zahl eine Quadratzahl ist?
Bei ganzen Zahlen gibt die letzte Ziffer einen ersten Hinweis: Quadratzahlen enden nur auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9. Sicher sind Sie mit der Primfaktorzerlegung, in der alle Exponenten gerade sein müssen, oder mit dem Rechner, dessen Feld Quadratzahl die Antwort nennt. 21 endet auf 1 und ist trotzdem keine Quadratzahl.
Wie berechne ich die Wurzel im Kopf?
Lernen Sie die Quadratzahlen bis 20 und schätzen Sie dazwischen. Für Zahlen, die auf 25 enden, gibt es eine Abkürzung: Steht vor der 25 ein Produkt n · (n + 1), ist die Wurzel n5. In 2.025 steht 20 = 4 · 5 vor der 25, also ist die Wurzel 45. Bei anderen Zahlen suchen Sie die beiden benachbarten Quadratzahlen und schätzen den Rest.
Wie genau ist das Ergebnis, und wie groß darf die Zahl sein?
Der Rechner nimmt Zahlen von 0 bis 1.000.000.000.000, ganz oder mit Dezimalkomma, und rundet auf 2, 4, 6 oder 8 Nachkommastellen. Intern rechnet er mit doppelter Genauigkeit, die rund 15 gültige Stellen bietet. Für diesen Wertebereich reicht das für alle angebotenen Nachkommastellen.
- Quadratwurzel (Definition, Rechenregeln, Berechnung) (Wikipedia)
- Heron-Verfahren (babylonisches Wurzelziehen) (Wikipedia)