Scheitelpunkt einer Parabel berechnen

Es gibt bis zu drei Schreibweisen: die Normalform (allgemeine Form) f(x) = ax² + bx + c, die Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e und, sofern die Funktion Nullstellen hat, die Nullstellenform f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Normalform und Scheitelpunktform gibt es für jede quadratische Funktion, die Nullstellenform nicht: f(x) = x² + 1 hat keine Nullstellen. Die vorhandenen Schreibweisen beschreiben dieselbe Parabel. Der Faktor a ist überall gleich: Er bestimmt, ob die Parabel nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geöffnet ist und wie steil sie verläuft.

In f(x) = a(x − d)² + e sind d und e die Koordinaten des Scheitelpunkts S(d | e). Die Zahl d verschiebt die Parabel entlang der x-Achse, e entlang der y-Achse. Achten Sie auf das Vorzeichen: Bei (x + 3)² ist d = −3. Manche Schulbücher schreiben a(x − xS)² + yS, gemeint ist dasselbe.

Lösen Sie die Klammer mit der binomischen Formel auf und fassen Sie zusammen: a(x − d)² + e = ax² − 2ad · x + (ad² + e). Es gilt also b = −2ad und c = ad² + e. Aus f(x) = 2(x − 3)² − 5 wird so f(x) = 2x² − 12x + 13. Im Rechner wählen Sie dafür „Scheitelpunktform“ und tragen a, d und e ein.

Sind der Scheitelpunkt S(d | e) und ein weiterer Punkt P(x | y) bekannt, setzen Sie beide in f(x) = a(x − d)² + e ein und lösen nach a auf: a = (y − e) / (x − d)². Mit S(2 | −1) und P(4 | 3) ist a = 4 / 4 = 1, also f(x) = (x − 2)² − 1 = x² − 4x + 3. Im Rechner wählen Sie „Scheitelpunkt und Punkt“.

Aus f(x) = ax² + bx + c folgt d = −b / (2a) und e = f(d) = c − b² / (4a). Für f(x) = x² − 4x + 3 ist d = 4 / 2 = 2 und e = 3 − 16 / 4 = −1, der Scheitelpunkt also S(2 | −1). Alternativ formen Sie mit der quadratischen Ergänzung um oder suchen die Stelle, an der die Ableitung f′(x) = 2ax + b gleich null ist.

Klammern Sie a aus den x-Gliedern aus, ergänzen Sie das Quadrat und gleichen Sie aus: x² − 4x + 3 = (x² − 4x + 4) − 4 + 3 = (x − 2)² − 1. Bei a ungleich 1 steht a vor der Klammer: 2x² + 8x + 5 = 2(x² + 4x + 4) − 8 + 5 = 2(x + 2)² − 3. Der Scheitelpunkt ist hier S(−2 | −3).

Der Scheitelpunkt liegt auf der Symmetrieachse in der Mitte zwischen den Nullstellen: d = (x₁ + x₂) / 2. Die y-Koordinate erhalten Sie, wenn Sie d in die Funktion einsetzen. Für f(x) = x² − 4x + 3 mit den Nullstellen 1 und 3 ist d = 2 und e = −1. Wählen Sie im Rechner „Nullstellen“ und tragen Sie a, x₁ und x₂ ein.

Das hängt vom Vorzeichen von a ab. Bei a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt und e das Minimum der Funktion. Bei a < 0 ist sie nach unten geöffnet, der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt und e das Maximum. Der Rechner zeigt die Öffnung unter dem Ergebnis an.

Weil die Parabel um d nach rechts rückt, wenn man x durch x − d ersetzt: An der Stelle x = d nimmt der Klammerterm den Wert 0 an, so wie bei der Normalparabel an der Stelle 0. Bei f(x) = (x + 3)² − 2 gilt wegen x + 3 = x − (−3) also d = −3, der Scheitelpunkt ist S(−3 | −2).

Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade x = d durch den Scheitelpunkt. Die Parabel ist an ihr spiegelsymmetrisch: Zwei Punkte mit gleichem Abstand links und rechts von d haben denselben Funktionswert. Deshalb liegt d bei zwei Nullstellen genau in der Mitte zwischen ihnen.

Ja. Die Tabelle unter dem Ergebnis nennt jeden Wert als Dezimalzahl und, bis zu zwölf Stellen in Zähler und Nenner, als gekürzten Bruch. Für f(x) = 3x² + 4x + 1 ist der Scheitelpunkt S(−2/3 | −1/3), die Dezimalzahlen lauten −0,666667 und −0,333333. Bei sehr langen Brüchen bleibt die Bruchspalte leer.

Setzen Sie f(x) = 0 und lösen Sie die quadratische Gleichung mit der pq-Formel oder der abc-Formel, das übernimmt der Nullstellenrechner. Der Scheitelpunkt zeigt schon vorher, ob es Nullstellen gibt: Bei einer nach oben geöffneten Parabel (a > 0) mit e > 0 schneidet sie die x-Achse nie.