Schnittpunkt berechnen
MathematikWählen Sie, ob sich zwei Geraden oder Parabeln schneiden, und tragen Sie die Werte der Funktionen ein. Der Rechner setzt die Funktionen gleich und nennt die Koordinaten der Schnittpunkte samt Rechenweg.
Rechenweg
x = (7 − 1) / (2 − (-1)) = 2
- Gleichsetzen: 2 · x + 1 = (-1) · x + 7.
- Nach x auflösen: x = (7 − 1) / (2 − (-1)) = 2.
- In die erste Gerade einsetzen: y = 2 · x + 1 = 5. Der Schnittpunkt ist (2 | 5).
Sobald alle Eingaben gültig sind, sehen Sie hier jeden Rechenschritt.
Formel
- m
- Steigung einer Geraden y = m · x + n
- n
- y-Achsenabschnitt: der Wert von y bei x = 0
- a, b, c
- Faktoren einer Funktion a · x² + b · x + c; mit a = 0 ist es eine Gerade
- D
- Diskriminante der quadratischen Gleichung A · x² + B · x + C = 0
So funktioniert der Rechner
Ein Schnittpunkt ist der Punkt, in dem sich zwei Graphen im Koordinatensystem treffen. Seine Koordinaten (x | y) erfüllen beide Funktionsgleichungen gleichzeitig. Zum Berechnen setzen Sie die beiden Funktionsterme gleich, lösen nach x auf und setzen x in eine der Funktionen ein, um y zu erhalten.
Bei zwei Geraden, also zwei linearen Funktionen y = m₁ · x + n₁ und y = m₂ · x + n₂, ergibt m₁ · x + n₁ = m₂ · x + n₂ die Lösung x = (n₂ − n₁) / (m₁ − m₂), danach y = m₁ · x + n₁. Haben beide Geraden dieselbe Steigung, gibt es keinen Schnittpunkt: Sind die y-Achsenabschnitte verschieden, verlaufen sie parallel; sind sie gleich, sind es dieselbe Gerade mit unendlich vielen gemeinsamen Punkten. Der Rechner meldet beide Fälle.
Bei Parabeln, den Graphen quadratischer Funktionen f(x) = a₁x² + b₁x + c₁ und g(x) = a₂x² + b₂x + c₂, führt das Gleichsetzen auf A · x² + B · x + C = 0 mit A = a₁ − a₂, B = b₁ − b₂ und C = c₁ − c₂. Die Diskriminante D = B² − 4 · A · C entscheidet: Bei D > 0 gibt es zwei Schnittpunkte, bei D = 0 einen Berührpunkt, bei D < 0 keinen. Mit a₂ = 0 ist g eine Gerade, so berechnen Sie den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden. Sind a₁ und a₂ gleich, entfällt das x²: Bei verschiedenen b gibt es einen Schnittpunkt, bei gleichen b und verschiedenen c keinen, bei gleichen b und c sind die Funktionen identisch. Die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse bestimmt der Nullstellenrechner, die Steigung einer Geraden aus zwei Punkten der Steigungsrechner.
Zur Formel
Die erste Zeile gilt für zwei Geraden mit verschiedener Steigung. Für Parabeln stellen die zweite bis vierte Zeile die Gleichung auf, bewerten sie mit der Diskriminante und lösen sie mit der Lösungsformel. Ist A = 0, bleibt B · x + C = 0 mit der Lösung x = −C / B. Der y-Wert wird immer aus der ersten Funktion berechnet; bei einem echten Schnittpunkt ist er in beiden gleich.
Der Rechner nennt bei zwei Schnittpunkten zuerst den mit dem kleineren x. Ein Berührpunkt (D = 0) ist ein einzelner gemeinsamer Punkt, an dem sich die Graphen nur berühren; die zweite Koordinate zeigt dann denselben Punkt noch einmal. Die Werte werden auf bis zu sechs Nachkommastellen angezeigt.
Rechenbeispiel
Wo schneiden sich die Geraden y = 2x + 1 und y = (-1)x + 7?
- Gleichsetzen: 2 · x + 1 = (-1) · x + 7.
- Nach x auflösen: (2 − (-1)) · x = 7 − 1, also x = 2.
- In die erste Gerade einsetzen: y = 2 · x + 1 = 5. Der Schnittpunkt ist (2 | 5).
Die Geraden y = 2 · x + 1 und y = (-1) · x + 7 schneiden sich im Punkt (2 | 5).
Beispiel in den Rechner übernehmenHäufige Fragen
Wie berechnet man einen Schnittpunkt?
Setzen Sie die beiden Funktionsterme gleich, lösen Sie die Gleichung nach x auf und setzen Sie x in eine der Funktionen ein, um y zu erhalten. Bei y = 2x + 1 und y = −x + 7 ergibt 2x + 1 = −x + 7 die Lösung x = 2, und y = 2 · 2 + 1 = 5. Der Schnittpunkt ist (2 | 5).
Wie berechnet man den Schnittpunkt zweier Geraden?
Mit den Geraden y = m₁x + n₁ und y = m₂x + n₂ gilt x = (n₂ − n₁) / (m₁ − m₂). Danach setzen Sie x in eine Geradengleichung ein, um y zu erhalten. Der Rechner übernimmt beides und meldet, wenn die Geraden parallel sind oder zusammenfallen.
Was ist ein Schnittpunkt in Mathe (5. Klasse)?
Ein Schnittpunkt ist der Punkt, in dem sich zwei Linien oder Geraden kreuzen. In der 5. Klasse zeichnet man ihn bei Figuren oder im Koordinatensystem ein und liest seine Lage ab, zum Beispiel als Punkt (3 | 2): drei Einheiten nach rechts und zwei nach oben. Wie man ihn ausrechnet, lernt man später mit Funktionsgleichungen.
Was bedeutet der Schnittpunkt?
Der Schnittpunkt ist die Stelle, an der beide Funktionen denselben x-Wert und denselben Funktionswert haben, also die gemeinsame Lösung beider Gleichungen. In Anwendungen zeigt er, wann zwei Größen gleich sind: Bei zwei Tarifen mit 10 € plus 0,20 € je Kilometer und 4 € plus 0,50 € je Kilometer liegt der Schnittpunkt bei 20 km und 14 €; darüber ist der zweite Tarif teurer.
Wie berechnet man den Schnittpunkt von 2 Parabeln?
Setzen Sie die Funktionen gleich und bringen Sie alles auf eine Seite: A · x² + B · x + C = 0 mit den Differenzen der Faktoren. Für f(x) = x² − 4x + 3 und g(x) = −x² + 2x + 3 ist A = 2, B = −6 und C = 0, also 2x² − 6x = 0 mit x = 0 oder x = 3. Die Schnittpunkte sind (0 | 3) und (3 | 0). Der Rechner macht das im Modus Parabeln.
Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden?
Genauso wie bei zwei Parabeln, nur ist die Gerade eine Funktion mit a = 0. Für y = x² und y = x + 2 ergibt x² = x + 2 die Gleichung x² − x − 2 = 0 mit D = 9 und den Lösungen x = −1 und x = 2. Die Schnittpunkte sind (−1 | 1) und (2 | 4). Setzen Sie im Rechner im Modus Parabeln a₂ = 0.
Wann haben zwei Geraden keinen Schnittpunkt?
Wenn sie dieselbe Steigung haben und nicht zusammenfallen, sind sie parallel: y = 2x + 1 und y = 2x + 5 treffen sich nie, denn 2x + 1 = 2x + 5 hat keine Lösung. Fallen auch die y-Achsenabschnitte zusammen, sind es dieselbe Gerade mit unendlich vielen gemeinsamen Punkten; einen einzelnen Schnittpunkt gibt es dann nicht.
Wie viele Schnittpunkte können eine Parabel und eine Gerade haben?
Keinen, einen oder zwei. Die Diskriminante D der Gleichung entscheidet: D > 0 zwei Schnittpunkte (die Gerade ist eine Sekante), D = 0 genau einen Berührpunkt (eine Tangente), D < 0 keinen (die Gerade verläuft an der Parabel vorbei). Zwei Parabeln können sich zusätzlich in einem einzigen Punkt schneiden, wenn sie dasselbe a haben.
Wie berechnet man den Schnittpunkt mit der y-Achse und mit der x-Achse?
Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhalten Sie mit x = 0: Bei y = m · x + n ist es (0 | n), bei a · x² + b · x + c der Punkt (0 | c). Den Schnittpunkt mit der x-Achse erhalten Sie mit y = 0: Bei der Geraden ist x = −n / m, bei Parabeln lösen Sie die quadratische Gleichung. Das sind die Nullstellen, die der Nullstellenrechner bestimmt.
Warum meldet der Rechner keinen Schnittpunkt?
Dann gibt es keinen einzelnen Schnittpunkt: Die Geraden sind parallel, die Parabeln unterscheiden sich nur um eine Konstante, die Funktionen sind identisch, oder bei Parabeln ist die Diskriminante negativ, die Graphen berühren sich also nie. In den ersten drei Fällen prüfen Sie die Koeffizienten, im letzten stimmen die Eingaben, nur die Graphen schneiden sich nicht.
- Schnittpunkt (Geometrie) (Wikipedia)
- Lineare Funktion: Gerade, Steigung und y-Achsenabschnitt (Wikipedia)
- Quadratische Funktion (Parabel) (Wikipedia)
- Quadratische Gleichung: Lösungsformel und Diskriminante (Wikipedia)