Quersumme berechnen
MathematikGeben Sie eine ganze Zahl mit bis zu 15 Ziffern ein. Der Rechner zeigt die Quersumme, die Quersumme der Quersumme, die alternierende Quersumme und ob die Zahl durch 3, 9 oder 11 teilbar ist.
Rechenweg
3 + 8 + 4 + 5 + 7 = 27
- Die Ziffern von 38.457 werden addiert: 3 + 8 + 4 + 5 + 7 = 27.
- Wiederholt man die Quersumme, bis nur eine Ziffer bleibt, ergibt sich die Folge 38457 → 27 → 9. Die einstellige Quersumme ist 9.
- Die alternierende Quersumme beginnt rechts mit Plus: 7 − 5 + 4 − 8 + 3 = 1.
- Teilbarkeit: durch 3 ja, durch 9 ja, durch 11 nein.
Sobald alle Eingaben gültig sind, sehen Sie hier jeden Rechenschritt.
Formel
- n
- die Zahl, hier eine ganze Zahl von 0 bis 999.999.999.999.999
- a0, a1, …, ak
- die Ziffern der Zahl von rechts nach links: die Einerziffer hat den Index 0, die Zehnerziffer den Index 1 und so weiter bis zur ersten Ziffer ganz links mit dem Index k
- Q(n)
- die Quersumme von n
- aQ(n)
- die alternierende Quersumme von n, von rechts mit Plus beginnend
So funktioniert der Rechner
Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern, sie heißt auch Ziffernsumme. Bei 38.457 rechnen Sie 3 + 8 + 4 + 5 + 7 = 27. Es zählt nur, welche Ziffern vorkommen, nicht in welcher Reihenfolge: 1.234 und 4.321 haben beide die Quersumme 10. Nullen ändern nichts. Die Quersumme bezieht sich auf das Dezimalsystem, in einem anderen Zahlensystem fällt sie anders aus.
Ist die Quersumme noch mehrstellig, bildet man die Quersumme der Quersumme und wiederholt das, bis nur eine Ziffer übrig bleibt, die einstellige oder iterierte Quersumme. Bei 93 ergibt sich 9 + 3 = 12 und dann 1 + 2 = 3. Diese letzte Ziffer ist der Rest der Zahl bei Division durch 9, nur bei positiven Vielfachen von 9 steht die 9 statt einer 0. Der Rechner zeigt die ganze Folge im Rechenweg.
Wozu das gut ist, zeigen die Teilbarkeitsregeln: Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist, und genau dann durch 9, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist. Für die 6 muss die Zahl zusätzlich gerade sein, denn sie ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Das hilft zum Beispiel beim Kürzen von Brüchen, das der Bruchrechner für Sie übernimmt, und beim Suchen gemeinsamer Teiler mit dem kgV- und ggT-Rechner.
Für die 11 braucht man die alternierende Quersumme: Von rechts beginnend werden die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert, zuerst plus, dann minus, dann wieder plus. Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn dieses Ergebnis durch 11 teilbar ist, auch wenn es 0 oder negativ ist. Bei 36.036 ergibt sich 6 − 3 + 0 − 6 + 3 = 0, die Zahl ist also durch 11 teilbar. Die Tabelle unter dem Rechner nennt die Ziffern in der Reihenfolge, in der Sie die Zahl lesen, von links nach rechts, jeweils mit der Stelle von rechts gezählt und dem Vorzeichen.
Zur Formel
Warum die Regeln stimmen, sieht man am Rest: 10 lässt bei Division durch 9 den Rest 1, deshalb auch 100, 1.000 und jede weitere Zehnerpotenz. Jede Ziffer trägt also nur sich selbst zum Rest bei, und eine Zahl hat denselben Rest wie ihre Quersumme. Dasselbe gilt für 3, weil 3 ein Teiler von 9 ist. Bei der 11 ist 10 gleich 11 − 1 und lässt den Rest −1, die Zehnerpotenzen wechseln zwischen +1 und −1, und daher wechseln in der alternierenden Quersumme die Vorzeichen.
Der Rechner nimmt ganze Zahlen von 0 bis 999.999.999.999.999 an, also bis zu 15 Ziffern, damit jede Rechnung exakt bleibt. Bei längeren Zahlen schneiden Sie die Ziffernfolge an einer Stelle durch und addieren die Quersummen der beiden Teile: Die Quersumme ändert sich nicht, wenn man die Ziffern gruppiert.
Rechenbeispiel
Wie lautet die Quersumme von 38.457?
- Schreiben Sie die Ziffern auf und addieren Sie sie: 3 + 8 + 4 + 5 + 7 = 27.
- Das Ergebnis hat zwei Stellen, also bilden Sie die Quersumme der Quersumme: 2 + 7 = 9.
- Weil 27 durch 3 und durch 9 teilbar ist, gilt das auch für 38.457: 38.457 : 9 = 4.273. Die alternierende Quersumme ist 7 − 5 + 4 − 8 + 3 = 1, die Zahl ist also nicht durch 11 teilbar.
Die Quersumme von 38.457 ist 27.
Beispiel in den Rechner übernehmenHäufige Fragen
Was ist die Quersumme von 21, 40, 15 und 9?
Die Quersumme von 21 ist 3 (2 + 1), die von 40 ist 4 (4 + 0), die von 15 ist 6 (1 + 5) und die von 9 ist 9, denn eine einstellige Zahl ist ihre eigene Quersumme. Jede andere Zahl mit bis zu 15 Ziffern prüfen Sie mit dem Rechner oben.
Was ist eine Quersumme?
Die Quersumme, auch Ziffernsumme genannt, ist die Summe aller Ziffern einer Zahl. Bei 1.234 ist sie 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Es zählen nur die Ziffern, nicht ihre Stelle, deshalb haben 1.234 und 4.321 dieselbe Quersumme.
Wie berechnet man die Quersumme?
Zerlegen Sie die Zahl in ihre Ziffern und addieren Sie diese. Bei 3.465 sind das 3 + 4 + 6 + 5 = 18. Nullen können Sie überspringen, 4.050 hat die Quersumme 4 + 5 = 9. Ist das Ergebnis noch mehrstellig, bilden Sie davon wieder die Quersumme.
Was ist die Quersumme der Quersumme?
Man bildet die Quersumme so oft, bis nur noch eine Ziffer bleibt. Bei 4.582 ergibt sich 4 + 5 + 8 + 2 = 19, dann 1 + 9 = 10 und schließlich 1 + 0 = 1. Diese einstellige Quersumme ist der Rest bei Division durch 9, nur bei positiven Vielfachen von 9 steht die 9 statt einer 0.
Wie erkenne ich, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist?
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. 7.654 hat die Quersumme 22, und 22 ist nicht durch 3 teilbar, also auch 7.654 nicht. 7.653 hat die Quersumme 21 = 7 · 3 und ist durch 3 teilbar: 7.653 : 3 = 2.551.
Wie erkenne ich, ob eine Zahl durch 9 teilbar ist?
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. 3.465 hat die Quersumme 18 und ist durch 9 teilbar: 3.465 : 9 = 385. 3.466 hat die Quersumme 19 und ist es nicht. Was durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar, umgekehrt gilt das nicht.
Wie erkenne ich, ob eine Zahl durch 6 teilbar ist?
Beides muss stimmen: Die Zahl ist gerade und ihre Quersumme ist durch 3 teilbar, denn eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. 5.412 ist gerade und hat die Quersumme 12, also gilt 5.412 : 6 = 902. 5.413 ist ungerade und scheidet aus.
Was ist die alternierende Quersumme?
Bei der alternierenden Quersumme werden die Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert. Man beginnt rechts mit einem Plus: 36.036 ergibt 6 − 3 + 0 − 6 + 3 = 0. Sie heißt auch Wechselsumme oder Querdifferenz und dient dem Test auf Teilbarkeit durch 11.
Beginnt man bei der alternierenden Quersumme rechts mit Plus oder Minus?
Üblich ist ein Plus bei der Einerziffer ganz rechts, so rechnet auch dieser Rechner. Wer links beginnt, erhält je nach Anzahl der Ziffern manchmal das umgekehrte Vorzeichen. Für die Teilbarkeit durch 11 ist das egal, denn eine Zahl x ist genau dann durch 11 teilbar, wenn −x es ist.
Wann ist eine Zahl durch 11 teilbar?
Wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist, auch bei 0 oder einem negativen Ergebnis. Bei 3.465 ergibt sich 5 − 6 + 4 − 3 = 0, die Zahl ist durch 11 teilbar: 3.465 : 11 = 315. Bei 4.582 ergibt sich 2 − 8 + 5 − 4 = −5, also ist sie es nicht.
Wozu braucht man die Quersumme?
Vor allem für die Teilbarkeit: Mit der Quersumme sehen Sie schnell, ob eine Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist, und können Brüche leichter kürzen. Auch die Neunerprobe, eine Kontrolle für Rechenergebnisse, beruht darauf, und die Quersumme dient als einfache Prüfsumme für Zahlenfolgen.
Wie berechne ich die Quersumme eines Geburtsdatums?
Tippen Sie das Datum als Zahl ein, ohne Trennzeichen: Für den 24.12.1985 geben Sie 24121985 ein. Der Rechner addiert 2 + 4 + 1 + 2 + 1 + 9 + 8 + 5 = 32 und zeigt 3 + 2 = 5 als Quersumme der Quersumme. Das ist reine Rechnerei, Deutungen aus der Zahlenmystik gehören nicht zur Mathematik.
Wie lang darf die Zahl sein?
Bis zu 15 Ziffern, also von 0 bis 999.999.999.999.999, damit die Rechnung exakt bleibt. Bei längeren Zahlen schneiden Sie die Ziffernfolge in Stücke und addieren die Quersummen der Stücke: 123.456.789.012.345.678 zerfällt in 123456789012 (Quersumme 48) und 345678 (Quersumme 33), zusammen 81.
Warum funktioniert die Quersummenregel?
Weil 10 bei Division durch 9 den Rest 1 lässt, tun das auch 100, 1.000 und alle weiteren Zehnerpotenzen. Jede Ziffer trägt deshalb nur sich selbst zum Rest bei, und eine Zahl hat denselben Rest wie ihre Quersumme. Für 3 gilt das ebenso, weil 3 ein Teiler von 9 ist.